11.4.2平面与平面垂直 学案（Word版含答案）

平面与平面垂直 【学习目标】 1．通过平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养。 2．借助线面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养。 【学习重难点】 1．了解面面垂直的定义。 2．掌握面面垂直的判定定理和性质定理。 3．灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题。 【学习过程】 一、基础铺垫 一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个_____。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为_____，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面。 如图所示，在二面角α-1-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作_____于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的_____。二面角的大小用它的平面角的大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小。 特别地，平面角是直角的二面角称为_____。 二、合作探究 平面与平面垂直的判定 【例1】 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC． 面面垂直性质定理的应用 【例2】 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD． （1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD； （2）求证：AD⊥PB． [思路探究] （1）―→―→ （2）要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可。 垂直关系的综合应用 [探究问题] 1．如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，你能证明PD⊥平面ABCD吗？ [提示] ∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC． 同理可证PD⊥AD， ∵AD 平面ABCD，DC 平面ABCD，且AD∩DC＝D， ∴PD⊥平面ABCD． 2．如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD． [提示] 连接CO（图略），由3AD＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，∴AC⊥CB， 由AC＝BC知，∠CAB＝60°， ∴△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO。 ∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D， ∴PD⊥平面ABC，又CD 平面ABC，∴PD⊥CD， 由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB， 又PA 平面PAB，∴PA⊥CD． 3．试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系。 [提示] 垂直问题转化关系如下所示： 【例3】 如图，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点。求证： （1）EN∥平面PDC； （2）BC⊥平面PEB； （3）平面PBC⊥平面ADMN。 [思路探究] （1）证明EN∥DM； （2）由AD∥BC可证AD⊥平面PEB； （3）利用（2）可证PB⊥平面ADMN。 【学习小结】 1．平面与平面垂直的判定 （1）平面与平面垂直 ①定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直。 ②画法： 记作：α⊥β。 （2）判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直 α⊥β 2．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 符号语言 a⊥β 图形语言 【精炼反馈】 1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面。 （ ） （2）如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面。 （ ） （3）如果两个平面互相垂直，那么分别在 ... ...