第6节 对数函数 [课标要求] ①理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．②通过实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．③知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)． 备考第1步———梳理教材基础，落实必备知识 1．对数的概念 (1)如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)常用对数与自然对数 常用对数 将以10为底的对数叫做常用对数 把log10N记为lg N 自然对数 将以无理数e＝2．718_28…为底的对数叫做自然对数 把logeN记为ln_N 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M >0，N >0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)； ④logamMn＝logaM． (2)对数的性质 ①alogaN＝N；②logaaN＝N(a>0且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad． 3．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0
1时，y>0；当01时，y<0；当00 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 4．反函数 指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． (一)必背常用结论 换底公式的三个重要结论： (1)logab＝； (2)logambn＝logab； (3)logab·logbc·logcd＝logad． (二)盘点易错易混 1．对数的底数含字母时易忽视对底数的讨论； 2．涉及对数的运算及对数函数问题，一定要确保真数大于0，树立定义域优先的思想． 【小题热身】 1．计算log29×log34＋2log510＋log50．25＝( ) A．0 B．2 C．4 D．6 解析：原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0．25)＝4＋log525＝4＋2＝6． 答案：D 2．函数f(x)＝的定义域是( ) A．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1，3) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪(2，3) 解析：由题意知即故函数f(x)的定义域为(1，2)∪(2，3)．故选D． 答案：D 3．(2021·内蒙古呼和浩特一模)函数f＝ln 的单调递增区间为( ) A． B． C． D． 解析：由题得3x2－6x－24>0，得x>4或x<－2， 即函数的定义域为{x|x>4或x<－2}． 设u＝3x2－6x－24，x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞), y＝ln u， 要求函数f＝ln 的单调递增区间， 即求函数u＝3x2－6x－24，x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)的增区间， 因为函数u＝3x2－6x－24，x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)的增区间为，故选D． 答案：D 4．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点_____． 解析：当4－x＝1，即x＝3时，y＝loga1＋1＝1． 所以函数的图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1) 5．[易错题]函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝_____． 解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0
