高三一轮总复习高效讲义第四章第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 学案（Word版含答案）

第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式　 [课标要求]　(1)同角三角函数的基本关系式：理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α； (2)诱导公式：借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式． 　备考第1步———梳理教材基础，落实必备知识 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：＝tan α． 2．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan_α tan_α －tan_α －tan_α － － 口诀 函数名不变符号看象限 函数名改变符号看象限 (一)必背常用结论 同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α； sin α＝tan αcos α； sin 2α＝＝； cos2α＝＝． (二)盘点易错易混 1．利用同角三角函数的基本关系和诱导公式时不注意角的范围出错； 2．利用诱导公式化简、求值时．对“±α”的形式中的k没进行分类讨论导致出错． 【小题热身】 1．已知sin α＝，α∈，则tan α＝(　　) A．－2　　　B．2　　　C．　　　D．－ 解析：因为≤α≤π，所以cos α＝－ ＝－＝－，所以tan α＝＝－． 答案：D 2．已知sin ＝，那么cos α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：∵sin ＝sin ＝cos α， ∴cos α＝． 答案：C 3．已知tan α＝2，则等于(　　 ) A．　　B．－　　C．　　D．－ 解析：原式＝＝＝． 答案：A 4．化简·sin (α－π)·cos (2π－α)的结果为_____． 解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin 2α． 答案：－sin 2α 5．[易错题]已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是_____． 解析：当k为奇数时：A＝－＝－2． 当k为偶数时：A＝＋＝2． 答案：{－2，2} 　备考第2步———突破核心考点，提升关键能力 考点1__同角三角函数基本关系的应用[多维讲练] 高考对同角三角函数基本关系式的考查常以选择题、填空题的形式出现，既有单独命题也常与三角函数的定义、诱导公式、三角恒等变换等相结合，考查三角函数的化简、求值等，难度中等偏下． 角度1　公式的直接应用 【例1】　(1)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝(　　 ) A． B．－ C． D．－ (2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为_____． 解析：(1)因为cos α＝－且α∈(0，π)， 所以sin α＝＝， 所以tan α＝＝－．故选D． (2)由tan α＝－， 得sin α＝－cos α，且sin α>0，cos α<0， 将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝1， 所以cos α＝－，sin α＝， 故sin α＋cos α＝－． 答案：(1)D　(2)－ [思维升华]�———�知一求二”———公式的直接应用 公式的直接应用，即已知sin α，cos α，tan α中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin 2α＋cos 2α＝1及tan α＝即可，但要注意α的范围，即三角函数值的符号． 角度2　sin α，cos α的齐次式问题 【例2】　已知＝－1，求下列各式的值： (1)； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2． 解：由已知得tan α＝． (1)＝＝－． (2)sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝＋2 ＝＋2 ＝＋2＝． [思维升华]　常见的弦化切的结构形式 (1)sinα，cos α的一次齐次分式，解决此类问题时，用分子分母同时除以cos α，将其转化为关于tan α的式子，进而求解． (2)sin α，cos α的二次齐次式(如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos2α)，解决此类问题时，将原式看成分母是1的表达式，把1换成“sin2α＋cos 2α”，然后用分子分母同时除 ... ...