第六章 平面向量、复数 第1节 平面向量的概念及线性运算 [课标要求] (1)向量概念：①通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义．②理解平面向量的几何表示和基本要素． (2)向量运算：①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义． ②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义． ③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 备考第1步———梳理教材基础，落实必备知识 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量与 数量 把既有大小又有方向的量叫做向量；把只有大小没有方向的量称为数量 平面向量是自由向量 有向 线段 具有方向的线段叫做有向线段 以A为起点、B为终点的有向线段记作 向量 的模 向量的大小称为向量的长度(或称模) 记作|| 零向量 长度为0的向量 记作0，其方向是任意的 单位 向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为± 平行 向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量), 向量a与向量b平行，记作a∥b 规定：零向量与任意向量平行 相等 向量 长度相等且方向相同的向量，向量a与向量b相等，记作a＝b 相等向量一定是平行向量，反之不一定 2．向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 (或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋ b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 a－b＝ a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0或a＝0时，λa＝0 λ(μa)＝ (λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． (一)必背常用结论 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 3．若＝λ＋μ (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1． 4．在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论： (1) ＋＋＝0； (2) ＝(＋)； (3) ＝(＋)＝(＋)． 5．对于任意两个向量a，b，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．当a，b不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系． (二)盘点易错易混 1．要重视向量的方向． 2．要注意区分向量共线(平行)与线段的共线或平行． 3．要重视零向量的特殊性，涉及向量共线等问题时不要因忽略零向量致误． 4．单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． 5．容易因对向量三角不等式认识不清致误． 【小题热身】 1．(2021·江西上绕模拟)如图，向量a－b＝( ) A．e1－3e2 B．e1＋3e2 C．－3e1＋e2 D．－e1＋3e2 解析：由图可得，a＝e1＋4e2，b＝2e1＋e2，所以a－b＝－e1＋3e2． 答案：D 2．(2021·重庆八中月考)在△ABC中，D为AB的中点，G为线段CD上一点，若＝＋λ，则λ的值为( ) A． B． C． D． 解析：由D为AB的中点知，＝＋λ＝＋λ，又G为线段CD上一点，由共线定理知＋λ＝1，则λ＝． 答案：B 3．(2022·安徽合肥一中月考)设a，b是两个非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( ) A ... ...
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