第二节 等差数列及其前n项和 [课标要求] 1．通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义； 2．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系； 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题； 4．体会等差数列与一元一次函数的关系． 备考第1步———梳理教材基础，落实必备知识 1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示． 2．等差中项 如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，由等差数列的定义知2A＝a＋b． 温馨提示： (1)a，A，b是等差数列的充要条件是2A＝a＋b． (2)数列{an}是等差数列 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． 3．等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 4．等差数列的常用性质和结论 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d． (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (6)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也是等差数列，公差为n2d． (7)若是等差数列，则也是等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． (8)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝． (9)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝． 5．等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d． 6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n． 数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． 7．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm． (一)必背常用结论 1．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p． 2．等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列． 3．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝(bn≠0，Tn≠0)． (二)盘点易错易混 1．忽视等差数列中项为0的情况； 2．用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列． 3．利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数． 4．要注意性质应用的条件和结论，如Sn为等差数列{an}的前n项和，不能错认为数列Sm，S2m，S3m，…是等差数列． 【小题热身】 1．已知在等差数列{an}中，a2＝－3，a3＝－5，则a9＝_____． 解析：d＝a3－a2＝－2，∴a9＝a3＋6d＝－5＋6×(－2)＝－17． 答案：－17 2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝_____． 解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180． 答案：180 3．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝_____时，{an}的前n项和最大． 解析：因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0．又a7＋a10＝a8＋a9＜0， 所以a9＜0．故当n＝8时，其前n项和最大． 答案：8 4．(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝_____． 解析：法一 设等差数列{an}的公差为d，则由a2＋a6＝2，得a1＋d＋a1＋5d＝2 ... ...
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