班海数学精批———一本可精细批改的教辅 3.4 实际问题与一元一次方程 一. 教学内容： 实际问题与一元一次方程 1. 体会数学建模思想. 2. 进一步探究如何用一元一次方程解决实际问题. 二. 知识要点： 1. 数学建模 这里所讲的数学建模是利用数学方法（一元一次方程）解决实际问题的一种实践. 即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式（一元一次方程）表达，建立起数学模型，然后运用数学方法进行求解. 建立数学模型的这个过程就称为数学建模. 2. 用一元一次方程解决实际问题的几个注意事项 （1）先弄清题意，找出相等关系，再按照相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数，再找出含有未知数的代数式，再找相等关系更为合理. （2）所列方程两边的代数式的意义必须一致，单位要统一，数量关系一定要相等. （3）要养成“验”的好习惯，即所求结果要使实际问题有意义. （4）不要漏写“答”、“设”和“答”都不要丢掉单位名称. （5）分析过程可以只写在草稿纸上，但一定要认真. 三. 重点难点： 1. 重点：进一步体现一元一次方程与实际的密切联系，渗透数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力. 2. 难点：本讲问题的背景和表达都比较贴近实际，其中有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地列方程是主要难点. 突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系. 【典型例题】 例1. 墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图中实线所示. 小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图中虚线所示. 小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米？ 分析：饰物形状变化前后有两个不变的量，一个是周长，另一个是变化前梯形的上底和变化后长方形的宽. 根据题意可设长方形的长为x，则长方形的周长为2x＋2×10，梯形的周长为10＋10＋10＋6＋10＋6＝52. 则2x＋20＝52，从而解得x＝16. 解：设小明所钉长方形的长为x，根据题意得： 2x＋2×10＝10＋10＋6＋10＋6＋10 整理得，2x＋20＝52 解得，x＝16 由于饰物变化前后长度为10的边没有变化，所以长方形的一边长为10厘米. 答：长方形的长为16厘米，宽为10厘米. 评析：图形变化问题的等量关系往往是变化前后的周长相等、面积相等、体积相等. 例2. 一批货物，甲把原价降低10元卖出，用售价的10%做积累，乙把原价降低20元，用售价的20%做积累，若两种积累一样多，则这批货物的原售价是多少？ 分析：设这批货物的原售价为x元，则甲的积累是（x－10）×10%元，乙的积累是（x－20）×20%，相等关系是：甲的积累＝乙的积累. 解：设这批货物的原售价为x元，根据题意得： （x－10）×10%＝（x－20）×20% 化简得：x－10＝2（x－20） 即x－10＝2x－40 解得x＝30 答：这批货物的原售价为30元. 评析：这个问题的相等关系比较简单，难点是对两个百分数的处理. 例3.某足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 一个队踢14场球负5场共得19分，问这个队胜了几场？ 分析：根据题意，所得的19分是踢胜的场数和踢平的场数所得的积分，而踢胜的场数和踢平的场数共14－5＝9场，如果设胜了x场，那么踢平的场数就是9－x场. 分别乘它们的分值，和为19. 解：设胜了x场，根据题意得： 3x＋1×（14－x－5）＝19 即3x＋9－x＝19 解得x＝5 答：这个队胜了5场. 评析：积分多少与胜、平、负的场数相关，同时也与比赛积分规定有关，如果对体育比赛有一定了解，会有助于理解题意. 例4.某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%. 求这个月的石油价格相对上个月的增长率. 分析：数量关系如下表： 上个月 这个月 石油 ... ...
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