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课件网) 28.4 垂径定理 一键发布配套作业 & AI智能精细批改 （任务-发布任务-选择章节） 目录 课前导入 新课精讲 学以致用 课堂小结 课前导入 情景导入 导入新知 如图，1 400多年前，我国隋代建造的赵州石拱 桥主桥拱是圆弧形， 它的跨度(弧所对的 弦长)是 37 m，拱高 (弧的中点到弦的距 离)为 7.23 m，求赵 州桥主桥拱的半径 (精确到 0.1 m)． 新课精讲 探索新知 1 知识点 垂径定理 按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足； 探索新知 总结 第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1． 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么？ 图1 图2 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 . 探索新知 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧．如图，CD⊥AB于点E，CD是⊙O的直径，那么可用几何语言表述为： 要点精析： (1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可． (2)垂径定理中的弦可以为直径． (3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据． 探索新知 已知：如图， CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E . 若ED=2，AB=8，求直径CD的长 . 例1 解：如图，连接OA . 设⊙O的半径为r . ∴ CD为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴ AE=BE . ∴AB=8，∴ AE=BE=4， 在 Rt△OAE 中，OA2=OE2+AE2， OE=OD－ED，即r2 = (r－2)2+42 . 解得r=5，从而2r=10 . 所以直径CD的长为10 . 探索新知 总 结 利用垂径定理求线段长，一般是求弦长或半径或弦心距，通用的方法就是在半径、弦长的一半及弦心距三者构成的直角三角形中利用勾股定理求其中的未知的线段长． 如图，在⊙O中，OC垂直于弦AB于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是( ) A. B. C. D. 典题精讲 B 典题精讲 如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列错误的是( ) A．CE＝DE B．AE＝OE C. D．△OCE≌△ODE 如图，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON等于( ) A．5 B．7 C．9 D．11 B A 探索新知 2 知识点 垂径定理的推论 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(非直径)，AB与CD相交于点E，且AE＝BE，那么可用几何语言表述为： 探索新知 例2 如图，AB，CD是⊙O的弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN＝∠CNM . 求证：AB＝CD . 证明：如图，连接OM，ON，OA，OC . ∵M，N分别为AB，CD的中点， ∴AB＝2AM，CD＝2CN . ∴OM⊥AB，ON⊥CD . ∴∠OMA＝∠ONC＝90°. ∵∠AMN＝∠CNM， ∴∠OMN＝∠ONM . ∴OM＝ON . 又∵OA＝OC，∴Rt△OAM≌Rt△OCN . ∴AM＝CN . ∴AB＝CD . 探索新知 证明两条弦相等，可以先证明弦的一半相等．根据垂径定理的推论，连接圆心和弦的中点是常见的作辅助线的方法． 总 结 典题精讲 如图所示，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM︰OC＝3︰5，则AB的长为( ) A．8 cm B. cm C．6 cm D．2 cm 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2， 则弦BC的长为( ) A. B．3 C．2 D．4 A C 学以致用 小试牛刀 1 . 如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结 论中，错误的是（ ） A．CE=DE B． C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD 2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则 弦AB的长是（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 D D 小试牛刀 3．如图3，在⊙O中，P ... ...
