(
课件网) 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 第五章 课标要求 1.了解函数零点的定义,并会求简单函数的零点. 2.了解函数的零点与方程解的关系. 3.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理. 内容索引 01 02 基础落实 必备知识全过关 重难探究 能力素养全提升 03 学以致用 随堂检测全达标 基础落实 必备知识全过关 知识点1 函数的零点 1.代数定义:使得f(x0)=0的数 称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点. 2.几何定义:f(x)的零点就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的 . 名师点睛 1.并不是所有的函数都有零点,如f(x)=1,f(x)=x2+1就没有零点. 2.若函数有零点,则零点一定在函数的定义域内. 3.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的解,也就是函数y1=f(x)与y2=g(x)的图象交点的横坐标. x0 横坐标 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数的零点是一个点.( ) (2)函数的零点是一个点的坐标.( ) × × 2.函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)=0解的个数有什么关系 提示相等. 3.当b2-4ac满足什么条件时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)没有零点 提示当b2-4ac<0时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)没有零点. 知识点2 零点存在定理 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点.即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解. f(a)·f(b)<0是在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点的充分但不必要条件 名师点睛 1.定理要求具备两个条件:(1)函数在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线;(2)f(a)·f(b)<0.这两个条件缺一不可. 2.若函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续的曲线,则由f(a)·f(b)<0可以推出函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点,但是由函数y=f(x)在区间(a,b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)<0.如f(x)=x2在(-1,1)内存在零点,但 f(-1)·f(1)>0. 3.如果单调函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点,即存在唯一的x0∈(a,b),使得f(x0)=0,这个x0也就是方程f(x)=0的解. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)设f(x)= ,由于f(-1)·f(1)<0,所以f(x)= 在(-1,1)内有零点.( ) (2)若函数f(x)在[a,b]内有零点,则f(a)·f(b)<0.( ) (3)若f(a)·f(b)>0,则f(x)在[a,b]内无零点.( ) × × × 答案 B 3.若函数f(x)=mx2-2x+3有且只有一个零点,则实数m的取值是 . 重难探究 能力素养全提升 探究点一 求函数的零点 【例1】 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出零点. (1)f(x)=-8x2+7x+1; (2)f(x)=1+log3x; (3)f(x)=4x-16. (3)存在.令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函数的零点为2. 规律方法 因为函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标,所以求函数的零点通常有两种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的解求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即函数的零点. 变式训练1 已知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点是1和2,求函数y=logn(mx+1)的零点. 解由题意知函数f(x)=x2+3(m+1)x+n的零点为1和2,则1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的解. 所以函数y=logn(mx+1)的解析式为y=log2(-2x+1). 令log2(-2x+1)=0,得x=0. 所以函数y=log2(-2x+1)的零点为0. 探究点二 函数零点个数的判断 【例2】 判断下列函数零点的个数: (1)f(x)=(x2-4)log2x; (2)f(x)=x2- ; (3)f(x)=2x+lg(x+1)-2. 解(1)令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1. 又因为函数定 ... ...
