2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编（续69套26专题）专题16：动态几何之定值问题

2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编（续69套26专题） 专题16：动态几何之定值问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 一、选择题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 （无） 二、填空题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 （无） 三、解答题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 8. （2013福建泉州14分）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（﹣6，0），过点E（﹣2，0）作EF∥AB，交BO于F； （1）求EF的长； （2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G； ①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明； ②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）； （3）在（2）中，若点M（2，），探索2PO+PM的最小值． 【答案】解：（1）在正方形OABC中，∠FOE=∠BOA=∠COA=45°。 ∵EF∥AB，∴∠FEO=∠BAO=90°。∴∠EFO=∠FOE=45°。 又E（﹣2，0），∴EF=EO=2。 （2）①画图，如答图1所示。 证明：∵四边形OABC是正方形，∴OH∥BC。 ∴△OFH∽△BFG。∴。 ∵EF∥AB，∴。 ∴。 ②证明：∵半圆与GD交于点P，∴OP=OH。 由①得：， 又EO=2，EA=OA﹣EO=6﹣2=4， ∴。 通过操作、观察可得，4≤BG≤12。 （3）由（2）可得：， ∴2OP+PM=BG+PM。 如答图2所示，过点M作直线MN⊥AB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形。 ∴NK=BG。 ∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，当点P与点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立。 又∵NK+KM≥MN=8，当点K在线段MN上时，等号成立。 （2）①首先依题意画出图形，如答图1所示．证明△OFH∽△BFG，得；由EF∥AB，得．所以。 ②由OP=OH，则问题转化为证明，根据①中的结论，易得，故问题得证。 （3）本问为探究型问题，利用线段性质（两点之间线段最短）解决，如答图2所示，构造矩形，将2PO+PM转化为NK+PM，由NK+PM≥NK+KM，NK+KM≥MN=8，可得当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8。 9. （2013年广西南宁10分）如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N． （1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM； （3）探究： ①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值； ②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数． 【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）， ∴，解得。 ∴抛物线的解析式为y=x2﹣1。 （2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1）， 则。 ∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2。 ∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1。 ∴AO=AM。 （3）①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上， ∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2， ∴。 ②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1）， 则。 联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0， 由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1?x2=﹣4， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1?x2=16k2+8，x12?x22=16。 ∴。 ∴无论k取何值，的值都等于同一个常数1。 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系的应用。 【分析】（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解。 （2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证。 （3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入计算即可得解； ②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次 ... ...