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课件网) 2.3 一元二次方程根的判别式 湘教版 九年级上 教学目标 1. 掌握一元二次方程根的判别式. 2. 能用根的判别式判别一元二次方程的根的情况. 3. 能根据根的情况确定一元二次方程中的字母系数. 复习导入 解下列方程，想想一元二次方程的根有哪几种情况 (1)x +4x-21=0； (2)x -6x+9=0； (3)x -3x+5=0. 一元二次方程的根有3种情况：方程有两个不相等的实数根，如方程(1)；方程有两个相等的实数根，如方程(2)；方程没有实数根，如方程(3)。 新知讲解 我们在运用公式法求解一元二次方程ax +bx+c=0 (a≠0)时，总是要求b -4ac≥0.这是为什么？ 将方程ax +bx+c=0(a≠0)配方后得到 新知讲解 由于a≠0 ，所以4a ＞0，因此我们不难发现： (1)当b -4ac＞0时， 由于正数有两个平方根，所以原方程的根为 此时，原方程有两个不相等的实数根. 新知讲解 (2)当b -4ac=0时， 由于0的平方根是0，所以原方程的根为 此时，原方程有两个相等的实数根. 新知讲解 (3)当b -4ac＜0时， 由于负数在实数范围内没有平方根是0，所以原方程没有实数根. 新知讲解 因此，若方程要有实数根，则b -4ac必须为非负数. 说明：关于b -4ac＜0时方程根的情况，我们将在高中阶段学习. 新知讲解 我们把b -4ac叫作一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根的判别式，记作“ ”，即 =b -4ac. 综上可知，我们不难发现一元二次方程ax +bx+c=0(a≠0)的根的情况可由 =b -4ac来判断： 新知讲解 当 ＞0时，原方程有两个不相等的实数根，其根为 当 ＞0时，原方程有两个相等的实数根，其根为 当 ＜0时，原方程没有实数根. 例题讲解 例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (1)3x +4x-3=0； (2)4x =12x-9； (3)7y=5(y +1). 解 (1)因为 =b -4ac=4 -4×3×(-3) =16+36=52＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根. 新知讲解 (2)4x =12x-9. 将原方程化为一般形式，得 4x -12x+9=0. 因为 =b -4ac=(-12) -4×4×9 =144-144=0， 所以，原方程有两个相等的实数根. 要先将方程化成一般形式，才能确定a，b，c的值. 新知讲解 (3)7y=5(y +1). 将原方程化为一般形式，得 5y -7y+5=0. 因为 =b -4ac=(-7) -4×5×5=49-100=-51＜0， 所以，原方程没有实数根. 巩固练习 1. 下列方程中没有实数根的是（ ） A. x +8x-1=0 B. 4x -3x+2=0 C. y -8y+16=0 D. 5x -7x-13=0 B 解析 四个方程的右边均为0，二次项系数均为正数，其中A，D中常数项为负数，则Δ＞0，它们有两个不相等的实数根；C的左边是完全平方式，则Δ=0，方程有两个相等的实数根；B中Δ＜0，因此没有实数根，故选B. 2. 若关于x的方程x +kx+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k＜-2 B. k＞2 C. -2＜k＜2 D. k＜-2，或k＞2 D 巩固练习 3. 若关于x的方程kx +4x+2=0有实数根，则k的取值不可以是（ ） A. -8 B. 2 C. 0 D. 4 D 解析 因为方程kx +4x+2=0有实数根，所以，Δ=16-8k≥0,解得k≤2，D符合题意，故选D. 巩固练习 课堂总结 一元二次方程根的判别式是什么？如何判定一元二次方程的根？ 判别式：Δ=b -4ac. 当Δ=b -4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ=b -4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ=b -4ac＜0时，方程没有实数根. 上述结论，反过来也成立. 作业布置 1. 一元二次方程x -x+1=0的根的情况为( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 D 提示：先计算判别式 =b -4ac的值，再判别根的情况. 作业指导 2. 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (1)x +3x-1=0； (2)x -6x+9=0； (3)2y -3y+4=0. (4)x +5=. 解 (1)因为 =b -4ac=3 -4×1×(-1)=9+4=13＞0， 所以，原方程有两个不相等的实数根. (2)因为 ... ...
