2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破 第5讲 基本不等式 精品讲义（Word版含答案）

第5讲　基本不等式 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号． (3)其中 称为正数a，b的算术平均数， 称为正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 时，x＋y有最小值是 ．(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当 时，xy有最大值是 ．(简记：和定积最大) 常用结论 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． 考点1 利用基本不等式求最值 [名师点睛] 1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　 2.常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值．　 3.消元法求最值的方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．　 [典例]　 1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（2022·湖南湖南·二模）函数的最小值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（ ） A．上的最小值为2 B．的最大值为1 C．的最大值为4 D．的最小值为 4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． [举一反三]　 1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知，，，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．（2022·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（ ） A．40 B． C．42 D． 4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D．6 5．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ） A．已知，，且，则 B．函数，若，且，则的最小值是 C．已知，则的最小值为 D．已知，则的最小值为 6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知，为正实数，且，则的最小值为_____，此时_____． 8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知，则的最小值为_____. 9．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设，那么的最小值是_____. 10．（2022·天津河北·一模）已知，，且，则的最大值为_____. 11．（2022·全国·高三专题练习）已知，求 的最小值； 考点2 利用基本不等式证明不等式 [名师点睛] 证明不等式时，可依据待求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证． 先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明轮换对称不等式时具有一定的普遍性． [典例]　 （2022·全国·高三专题练习）已知都是正数，求证： (1)； (2)若，则. [举一反三 ... ...