2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破 第11讲 指数与指数函数 精品讲义（Word版含答案）

指数与指数函数 1．根式 (1)根式的概念 ①若 ，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数． ②a的n次方根的表示： xn＝a (2)根式的性质 ①()n＝a(n∈N*，且n>1)． ②＝ 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)； ③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax (a>0且 a≠1) a>1 00时，y>1； 当x<0时，00时，01 在R上是增函数 在R上是减函数 考点1 指数幂的运算 [名师点睛] 1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： (1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序． 2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． 3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． [典例]　 1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算； （2）若，求的值． 2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)． （1）； （2）； （3）； （4）. [举一反三]　 1．（2022·全国·高三专题练习）计算：. 2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：； （2）化简：. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知，求下列各式的值． （1）；（2）；（3）. 4．（2022·全国·高三专题练习）已知，求的值． 5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值： （1）； （2）已知，，求. 6．（2022·全国·高三专题练习）化简： （1） （2）(a>0，b>0). （3）. 考点2 指数函数的图象及应用 [名师点睛] 1．对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解． [典例]　 1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数（且）的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 2．（2022·北京·高三专题练习）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（ ） A． B． C． D． [举一反三]　 1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A． B． C． D． 考点3 指数函数的性质及其应用 [名师点睛] 1．比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小． 2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化． 3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． [典例]　 1．（2022·天津河西·一模）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）． A． B． C． D． 2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ） A． B． C． D． 3．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数，则不等式的解集为_____. 4．（2022·北京·高三专题练习）设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（2022·重庆 ... ...