数学北师大版必修5：三角形中的几何计算——与三角形面积、最值、取值范围有关的问题 教案（表格式）

三角形中的几何计算 ———与三角形面积、最值、取值范围有关的问题 教 案 第 二 章第 2 节 课题名称 三角形中的几何计算———与三角形面积、最值、取值范围有关的问题 学习 目标 会用公式求三角形面积. 体会正弦定理和余弦定理在边角互换解三角形问题的用法 掌握求三角形面积的最值问题及取值范围的方法，选用恰当的变量，求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值和取值范围. 重点 难点 重点:运用正弦定理和余弦定理处理三角形中的边角关系.. 难点:选用恰当的变量，求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值和取值范围. 学 习 过 程 与 方 法 知识回顾 三角形面积公式 S=bcsinA=acsinB=absinC已知两边及其夹角 2、应用示例 与三角形面积有关的题目主要有两种： 1.解三角形求出有关量，利用公式求面积； 2.将面积作为已知条件之一，与正弦定理和余弦定理一起求解三角形中其他量。 命题方向1　三角形中的面积问题 例1. 在△ABC中，已知∠A＝45°，cosB＝. (1)求sinC的值； (2)若BC＝10，求△ABC的面积． 分析: (1)已知∠B的余弦值，由三角函数的基本关系可求得正弦值，再由三角形内角和定理通过三角恒等变形可求出sinC的值．(2)由(1)知sinC的值，利用正弦定理可求AB，则面积易得． 解析:　(1)∵cosB＝，且∠B∈(0，π)， ∴sinB＝＝， sinC＝sin(180°－A－B)＝sin(135°－B)＝sin135°cosB－cos135°sinB ＝×－(－)×＝. (2)由正弦定理得＝， 即＝， 解得AB＝14. 故△ABC的面积S＝AB·BCsinB ＝×14×10×＝42. 命题方向2　求最大值、最小值的问题 例2.已知⊙O的半径为R，在它的内接三角形ABC中，有2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB成立，求△ABC面积S的最大值． 分析:先根据已知式子由正弦定理把角转化为边的关系，然后运用余弦定理整理求出△ABC面积S的最大值． 解析:由已知条件得 (2R)2(sin2A－sin2C)＝2RsinB(a－b)， 即有a2－c2＝ab－b2， 又cosC＝＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝，A＋B＝. ∴S＝absinC＝ab＝·4R2sinAsinB＝R2sinAsin(－A)＝R2sinA(cosA＋sinA)＝(sin2A＋1－cos2A)＝[sin(2A－)＋1]． 当2A－＝，即A＝时，Smax＝R2. 规律总结: (1)边、角互化是解三角形问题常用的方法．一般有两种思路：一是边化角，二是角化边． (2)三角形中的三角变形，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质． (3)对于求平面图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值，有时要用到不等式的均值定理(后面将要学习)求最值． 〔课堂练习〕 已知△ABC中，22(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB，△ABC外接圆半径为2. (1)求∠C； (2)求△ABC面积的最大值． [解析]　(1)由2(sin2A－sin2C)＝(a－b)·sinB得2＝(a－b). 又∵R＝，∴a2－c2＝ab－b2. ∴a2＋b2－c2＝ab. ∴cosC＝＝， 又∵0°