微专题 与两异面直线成等角问题 讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）必修第三册

学生版 1、异面直线所成的角 设a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)； 2、已知直线a，b是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？ 提示：如图，在空间中任取一点O， 作直线a′∥a，b′∥b， 则两条相交直线a′，b′所成的锐角或直角θ， 即两条异面直线a，b所成的角； 3、a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？ 提示：a′与b′所成角的大小只由a，b的相互位置确定，与点O的选择无关，一般情况下为了简便， 点O选取在两条直线中的一条直线上． 例1、如图，在正四面体D－ABC中，P∈平面DBA， 则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有(　　) A．0条 B．1条　 C．2条 D．3条 【提示】 【答案】 【解析】 例2、若异面直线所成的角为，则过空间一点且与所成的角都为的直线 有多少条？ 【说明】本题借助考查异面直线所成角的定义与作法；渗透了在立体几何中如何考查数形结合与探究、归纳与、证明； 已知异面直线、所成的角为，过空间一点作与、都成角的直线； 则这样的直线的条数 对异面直线所成角问题，关键是“适当”找点；注意数形结合与结合“运动、变化”的趋势； 已知异面直线a，b所成的角为60°，过空间一点O的直线与a，b所成的角均为60°，这样的 直线有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2、在正方体ABCD-A1B1C1D1各个面的对角线中与AD1所成的角为60°的有（ ） A．4条 B．6条 C．8条 D．10条 已知异面直线所成角为，过空间一点有且仅有条直线与所成角都是，则的取值 范围是_____. 教师版 1、异面直线所成的角 设a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)； 2、已知直线a，b是两条异面直线， 如何作出这两条异面直线所成的角？ 提示：如图，在空间中任取一点O， 作直线a′∥a，b′∥b， 则两条相交直线a′，b′所成的锐角或直角θ， 即两条异面直线a，b所成的角； 3、a′与b′所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？ 提示：a′与b′所成角的大小只由a，b的相互位置确定，与点O的选择无关，一般情况下为了简便，点O选取在两条直线中的一条直线上． 例1、如图，在正四面体D－ABC中，P∈平面DBA， 则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有(　　) A．0条 B．1条　 C．2条 D．3条 【提示】注意：理解异面直线定义的定义中的“点，平行”等关键词； 【答案】C； 【解析】在平面DAB内过P点与DB或AB平行的直线都与BC成60°的角， 实际上只要求得在平面DAB内过点B且与直线BC成60°角的直线的条数； 在空间过点B与直线BC成60°角的直线构成以BC为轴，BD为母线的圆锥侧面， 此圆锥侧面与平面DAB只有两条交线；因此满足题意的直线只有2条； 例2、若异面直线所成的角为，则过空间一点且与所成的角都为的直线 有多少条？ 【提示】 把直线都平移到过点， 如图，由已知，则， 是的平分线，是的平分线， ，， 垂直于直线确定的平面，直线与所确定的平面与垂直，同样直线与确定的平行也与垂直，在这两个平面内与成相等的角且最小的直线是角平分线，即知最小值一个是，一个是，然后根据角的大小可判断各选项，注意成角的直线也只有一条； 【解析】由已知与异面直线所成角都为，则 直线都平移到过点， 如图，由已知，则， 是的平分线，是的平分线， ，， 垂直于直线确定的平面，直线与所确定的平面与垂直，同样直线与 确定的平行也与垂直； 过的直线与所成的角相等，此直线只能在这两个平面内， 直线与平面所成的角是； 由最小角定理，在平面内的直线与直线所成的角最小值 ... ...