2024-2025学年天津市南开中学高三（下）统练 数学试卷（19） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.设下列选项中，的充要条件是( ) A. B. C. D. 3.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( ) A. B. C. D. 4.下列说法错误的是( ) A. 线性相关系数越接近，两个变量的线性相关程度越强 B. 独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系 C. 在回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高 D. 甲、乙两个模型的决定系数分别约为和，则模型甲的拟合效果更好 5.设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是( ) A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6.已知，，，则，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 7.已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 8.九章算术与几何原本并称现代数学的两大源泉．在九章算术卷五商功篇中介绍了羡除此处 是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体体积的求法．在如图所示的羡除中，平面是铅垂面，下宽，上宽，深，平面是水平面，末端宽，无深，长直线到的距离，则该羡除的体积为( ) A. B. C. D. 9.已知双曲线的离心率为，左、右顶点分别为，，右焦点为，，是上位于第一象限的两点，，若，则( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10.已知复数满足，则 _____． 11.在的展开式中的系数是_____． 12.已知抛物线：，若抛物线在点处的切线恰好与圆：相切，则 _____． 13.已知递增的等差数列的公差为，从中抽取部分项，，构成等比数列，其中，，，且集合中有且仅有个元素，则的取值范围为_____． 14.在菱形中，，，，分别为线段，上的点，，，点在线段上，且满足，则_____；若点为线段上一动点，则的取值范围为_____． 15.设函数，若有三个零点，则的取值范围是_____． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 在中，角，，的对边分别为，，，若且的面积为，． Ⅰ求角的大小及； Ⅱ求的值． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点． 证明：平面； 若，． (ⅰ)求平面与平面夹角的余弦值； (ⅱ)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18.本小题分 已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，． Ⅰ求数列和的通项公式； Ⅱ对任意的正整数，设，求； Ⅲ若对于数列，，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求． 19.本小题分 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． 当时，求的值； 若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； 已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 20.本小题分 已知函数． 求的单调区间； 当时，恒成立，求实数的取值范围； 关于的方程有两个不相等的正实数解，，且，求证：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.解：Ⅰ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． Ⅱ由正弦定理可知， ， ， ， ， ． 17.证明：取的中点，连接，， 为棱的中点，，， ，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面． 解：，，，，即， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又，平面，，， 而， 故以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图 ... ...
