第五章 三角函数 5.5三角恒等变换 第2课时 简单的三角恒等变换 【课程标准】 能用二倍角公式导出半角公式，并能进行简单运算 了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法 掌握三角恒等变换在三角函数图像及性质中的应用 【知识要点归纳】 1.升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 注意： 利用二倍角公式的等价变形：， 2.辅助角公式 形如的三角函数式的变形： = 令，则 == （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定．） 3.半角公式(以下公式只要求会推导，不要求记忆) ， ， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 4.积化和差公式 注意： 规律1：公式右边中括号前的系数都有． 规律2：中括号中前后两项的角分别为和． 规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数． 5.和差化积公式 【经典例题】 例1．化简：（是第一象限角）． 【解析】原式 ． 【变式1】化简． 【解析】∵，∴cos＞0，则由半角公式得， ∴原式，又，∴， 从而．即原式=． 例2．已知，且，则sinx+cosx=_____． 【答案】【解析】∵，∴，则 又，∴，解得， 则． 例3．已知，求： （1）的最大值以及取得最大值的自变量的集合； （2）的单调区间． 【解析】（1）= 由，时，即时，． （2），即，是单增函数． ，即，是单减函数． 【变式1】已知函数（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于直线对称，则函数是（ ） A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称 B．偶函数且它的图象关于点对称 C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称 【答案】D【解析】由题意知的图象关于对称，∴。 ∴a=－b，，∴。 ∴为奇函数且其图象关于（π，0）对称 【变式2】设函数f(x)=cos(2x+)+sinx. 求函数f(x)的最大值和最小正周期. 设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，f()=－，求sinA. 【解析】（1）f(x)=cos(2x+)+sinx= 所以函数f(x)的最大值为，最小正周期. （2）f()==－，所以， 所以，所以，所以sinA =cosB=. 【当堂检测】 一．选择题（共4小题） 1． A．1 B． C． D． 2．计算： A． B． C． D． 3．已知，且，则 A． B． C．或1 D．或1 4． A． B．1 C． D． 二．填空题（共2小题） 5．已知函数对任意都有，则 ． 6．函数的图象过点，，则的值域为 ． 三．解答题（共3小题） 7．已知． （1）求的值； （2）已知，，且，求的值． 8．（1）求值：； （2）已知是第二象限角，化简． 9．化简求值： （Ⅰ）； （Ⅱ）． 课堂检测答案 一．选择题（共4小题） 1． A．1 B． C． D． 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简即可求值得解． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用及三角函数化简求值，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 2．计算： A． B． C． D． 【分析】由已知利用平方差公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题主要考查了平方差公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 3．已知，且，则 A． B． C．或1 D．或1 【分析】由已知可求可得，，利用二倍角公式化简已知等式可得，分类讨论即可求解． 【解答】解：， 可得，， ， ， 当时，可得； 当时，可得，可得，解得； 综上，，或． 故选：． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想的应用，属于基础题． 4． A． B．1 C． D． 【分析】利用三 ... ...
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