第一章 空间向量与立体几何单元测试（巅峰版）（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 第一章 空间向量与立体几何单元测试 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 2．（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ） A．23 B．24 C．26 D．27 【答案】D 【解析】 【分析】 作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积. 【详解】 该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图， 因为，所以， 因为重叠后的底面为正方形，所以, 在直棱柱中，平面BHC，则, 由可得平面， 设重叠后的EG与交点为 则 则该几何体的体积为. 故选：D. 3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，是互不重合的平面，，，是互不重合的直线，下列命题中正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】 对于A，可能相交，也可能平行，可判断A;根据面面垂直的性质定理可判断B;对于C，判断m,n可能平行也可能异面，即可判断正误，对于D，根据线面垂直的的判定定理可判断. 【详解】 对于A，，，，则可能相交，也可能平行，故A错误‘ 对于B, 若，，，，根据面面垂直的性质定理可知，故B正确； 对于C, 若，，，则m,n可能平行也可能异面，故C错误； 对于D，若，，，，由于不能确定m,n是否相交，故不能确定，故D错误， 故选:B 4．（2022·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中 ①+与1+1是一对相反向量； ②-1与-1是一对相反向量； ③1+1+1+1与+++是一对相反向量； ④-与1-1是一对相反向量． 正确结论的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】 【分析】 由向量的加减运算对各个选项进行检验即可. 【详解】 设E,F分别为AD和A1D1的中点， ①+与+不是一对相反向量，错误； ②-与-不是一对相反向量，错误； ③1+1+1+是一对相反向量,正确； ④-与1-不是一对相反向量,是相等向量，错误． 即正确结论的个数为1个 故选：A 5．（2023·安徽省宣城中学模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点．有下列结论： ①三棱锥在平面上的正投影图为等腰三角形； ②直线平面； ③在棱BC上存在一点E，使得平面平面； ④若F为棱AB的中点，且三棱锥的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为． 其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】 【分析】 对于①，根据正投影的特点，作出投影图形，证明并判断正投影图形；对于②，以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，得出法向量与不垂直，进而得到结论错误；对于③，运用向量的坐标表示证明线面垂直，进而得出面面垂直；对于④，根据三棱锥的几何特征，找出外接球球心，进而求出外接球半径，得出外接球体积. 【详解】 对于①，设的中点为，连接，，， 如图， 为的中点，， 又平面，平面， 点，在平面上的正投影分别为， 且点在平面上的正投影分别为其本身， 三棱锥在平面上的正投影图为， 又， 即为等腰三角形，①正确； 对于②，以点为原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，如图 ... ...