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课件网) 13.1.2线段的垂直平分线的性质 背景：村庄里用水不便，阿凡提提出修一口水井，巴依老爷和穷人居住的地方都没有水源，只有一条路边有水源 我和穷人对半出钱，但是水井要修在我家对面 不行，要修在离我们穷人近一些的地方 找一点到巴依老爷和穷人距离相等的地方，怎么找？ 思考 M N A B C A′ C′ B′ 如图，△ABC和 △A'B'C'关于直线MN对称，点A、B、C分别是点A',B',C'的对称点，线段AA'、BB'、CC'与MN有什么关系？ P 点A，A′是对称点，设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和 △A′B′C′沿直线MN折叠后，点Ａ与Ａ′重合，于是有： ＡＰ＝ＰＡ′，∠ＭＰＡ＝ ∠ＭＰＡ′＝９0° 对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段。 M N Q p G A B C A′ C′ B′ P. . Q 定义： 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 图中的两个三角形关于直线MN对称 Q p G M N A B C A' C′ B′ 几何语言： ∵MN是AA′的垂直平分线 ∴AP=PA′, ∠MPA= ∠MPA′=90° 轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。 即对称点的连线被对称轴垂直平分。 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。 发现规律 线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等。 几何语言： ∵MN垂直平分AB，且P在MN上 ∴PA=PB P A B M O N 修水井问题 P 例1： 如图，△ABC中，EF垂直平分AB，GH垂直平分AC，设EF与GH 相交于O，请写出OB与OC的数量关系并说明理由. 连结AO、BO、CO ∵EF垂直平分AB ∴OA=OB ∵GH垂直平分AC ∴OA=OC 解：OB=OC，理由如下： ∴OB=OC 例2 已知:如图,ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于点P. 求证：（１）PA=PB=PC; （２）点P在边AC的垂直平分线上 B A C D E F G P PA=PB=PC PB=PC 点P在线段BC的垂直平分线上 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 分析： 已知:如图,ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于点P. 求证：（１）PA=PB=PC; （２）点P在边AC的垂直平分线上 Ａ Ｆ Ｄ Ｐ Ｂ Ｇ Ｅ Ｃ 证明：（1）∵ＤＥ是ＡＢ的垂直平分线 ∴ＰＡ=ＰＢ ∵ＦＧ是ＢＣ的垂直平分线 ∴ＰＢ=ＰＣ ∴ＰＡ=ＰＢ=ＰＣ (2)由（1）知ＰＡ=ＰＣ ∴点P在边AC的垂直平分线上 小试牛刀 1.下列说法错误的是（ ）。 A．D．E 是线段 AB 的垂直平分线上的两点，则 AD=BD，AE=BE 。B．若 AD=BD，AE=BE，则线段 DE 所在直线是线段 AB 的垂直平分线 。 C．若 PA=PB，则点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 。 D．若 PA=PB，则过点 P 的直线是线段 AB 的垂直平分线 。 Ｄ 2.如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，△BCD的周长是 C B E A Ｄ 19 变式一：如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上 （1）AB，AC，CE 的长度有什么关系？ （2）AB+BD与DE 有什么关系？ 解：（1） AB=AC=CE,理由如下： ∵AD⊥BC，BD =DC ， ∴AB =AC； 又∵点C 在AE 的垂直平分线上， ∴AC=CE， ∴AB=AC=CE。 （2） AB +BD =DE，理由如下： ∵AB =CE，BD =DC， ∴AB +BD =CD +CE， 即AB +BD =DE A B C D E 变式二：易错题： 如图，直线l是线段AB的垂直平分线，直线Ｌ与线段AB相交于点O，P为Ｌ上一点，C，D为线段AB上的两点，有下列结论：①PA=PB;②PC=PD;③AO=BO;④∠AOP=90°.其中一定正确的结论有: ①③④ 练习1：作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？ ... ...
