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课件网) 第2章 圆 2.5.3 切线长定理 情景引入 50° 1、如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 2、这样的切线能画出几条？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线。 3、如果∠P=50°,求∠AOB的度数。 130° 2条。 130° O P A B 获取新知 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长. · O P A B 切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ 切线长概念 如图，PA,PB的长度是点P 到⊙O的切线长. 切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。 O P A B 切线和切线长 PA=PB，OPA=∠OPB 我们猜测过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.接下来我们验证这个猜测. 思考：已知⊙O切线PA、PB，A、B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么 请证明你所发现的结论。 B P O A 证明：∵PA，PB与⊙O相切， 点A，B是切点, ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°. ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)， ∴ PA = PB，∠OPA=∠OPB. A B P O 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何语言： ∵PA切⊙O于A，PB切⊙O于B， ∴PA=PB， ∠APO=∠BPO ， OP⊥AB， OP平分AB. 反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 切线长定理 练一练 知识点一 切线长定义 过圆外一点作圆的切线，这点和 的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 知识点二 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 相等；这一点和圆心的连线平分 ，垂直平分切点所成的 ，平分切点所成的两 . 切点 切线长 两条切线的夹角 弦 弧 例题讲解 例1 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD. 求证：CO∥BD. 分析：连接AB，因为AD是直径，那么∠ABD=90°，即BD⊥AB.因此要证CO∥BD,只要证CO⊥AB即可. 证明：连接AB. ∵CA和CB是⊙O的切线,点A,B为切点， ∴CA=CB,∠ACO=∠BCO. ∴CO⊥AB. ∵AD是⊙O的直径. ∴∠ABD=90°，即BD⊥AB. ∴CO∥BD. 例2 如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，Q为上一点，过点Q作⊙O的切线，分别交PA，PB于点E，F.已知PA＝12 cm，∠P＝70°.求： (1)△PEF 的周长； (2)∠EOF 的度数． 解：(1)∵PA，PB，EF是⊙O的切线， ∴PA＝PB，EA＝EQ，FQ＝FB， ∴△PEF的周长为PE＋PF＋EQ＋FQ＝PA＋PB＝24(cm)． (2)连接OA，OB，OQ. ∵PA，PB，EF是⊙O的切线， ∴PA⊥OA，PB⊥OB，EF⊥OQ， ∠AEO＝∠QEO，∠QFO＝∠BFO， ∴∠AOE＝∠QOE，∠BOF＝∠QOF. 又∵∠AOB＝180°－∠P＝110°， ∴∠EOF＝∠AOB＝55°. 解决切线长问题常见的辅助线作法： (1)连接圆心和切点； (2)连接两个切点； (3)连接圆心和两切线的交点． 随堂演练 1．如图1，PA，PB切⊙O于点A，B，PA＝8，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，则△PCD的周长是( ) A．8 B．18 C．16 D．14 2．如图2，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB＝50°，则∠AOP＝____°. C 65 图1 图2 3. 如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F.如果AF=2cm，BD=7cm，CE=4cm,则BC=_____， AC= _____,AB=_____ 11cm 6cm 9cm B D A C F E 2 7 4 4．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC. 求证：AC＝BC. 证明：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B， ∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC. 又∵PC＝PC， ∴△APC≌△BPC， ∴AC＝BC. 切线长 切线长定理 作用 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 内容 提供了证线段和 ... ...
