1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 同步训练 2课时（附答案）

1.4.2 第1课时　空间中的距离问题（同步训练） 一、选择题 1.若O为坐标原点，＝(1，1，－2)，＝(3，2，8)，＝(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　) A. B.2 C. D. 2.已知平面α过点A(1，－1，2)，和α垂直的一个向量为n＝(－3，0，4)，则点P(3，5，0)到α的距离为(　　) A. B.2 C.3 D. 3.在空间直角坐标系Oxyz中，O为坐标原点，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2，1)，若点P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，则点P到各顶点的距离的不同取值有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.(2021年太原月考)已知在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为(　　) A.a B.a C.a D.a 6.(2021年张掖质检)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝AA1＝4，D是AA1的中点，则点A1到平面DBC1的距离是(　　) A.1 B. C. D.2 7．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的面A1B1C1D1上取一点E，使∠EAB＝∠EAD＝60°，则线段AE的长为(　　) A. B. C. D. 8.(多选)下例四个命题中，正确命题有(　　) A.若一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，－2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为 B.若向量a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，m)且a⊥b，则m＝－5 C.已知AB为平面α的一条斜线段，点A(1，2，－1)在平面α上，n＝(1，0，1)为平面α的法向量，则点B(2，1，1)到平面α的距离为 D.若两个不同平面α，β的法向量分别是u，v，且u＝(1，2，－2)，v＝(－2，－4，4)，则α∥β 9.(多选)(2022年广东联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥底面ABCD，AB＝1，AD＝3，AP＝2，点E在PD上，＝2，点M在棱PB上，则点M到平面ACE的距离可能为(　　) A. B. C. D. 二、填空题 10.(2021年衡水模拟)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AC＝AA1＝2，AB＝2，M为BB1的中点，则点B1与平面ACM的距离为_____ 11.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AA1＝9，BC＝6，N为BC的中点，则直线D1C1到平面A1B1N的距离是_____ 12.如图，正三棱锥S－ABC的高SO＝2，侧棱SC与底面成45°角，则点C到侧面SAB的距离是_____ 13.(2021年重庆联考)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，若AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，则＝_____；点C到平面AEC1F的距离为_____ 三、解答题 14.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45°，E是CD边的中点，将△DAE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且PB＝2． (1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；(2)求点E到平面PAB的距离． 15.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，BB1的中点． (1)求证：平面A1DC1∥平面EFG；(2)求平面A1DC1与平面EFG间的距离． 参考答案： 一、选择题 1.D 2.A 3.B 4.D 5.C 6.B 7.C 8.CD 9.BD 二、填空题 10.答案：1 11.答案：9 12.答案： 13.答案：2， 三、解答题 14.(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45°， E是CD边的中点，将△DAE沿AE折起，使点D到达点P的位置，且PB＝2， ∴AE＝＝2．∴AE2＋ED2＝AD2．∴∠AED＝90°．∴AE⊥AB． ∵AB2＋PA2＝PB2，∴AB⊥PA． ∵AE∩PA＝A，∴AB⊥平面PAE． ∵AB 平面ABCE，∴平面PAE⊥平面ABCE． (2)解：∵AE＝2，DE＝2，PA＝2，∴PA2＝AE2＋PE2．∴AE⊥PE． ∵AB⊥平面PAE，AB∥CE，∴CE⊥平面PAE．∴EA，EC，EP两两垂直． 如图，以E为原点，EA，EC，EP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则E(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，4，0)，P(0，0，2)， ＝(0，0，－2)，＝(2，0，－2)，＝(2，4，－2)． 设平面PAB的法向量n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，0，1)， ∴点E到平面 ... ...