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课件网) 12.3 角的平分线的性质（2） 人教版八年级上册 知识回顾 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何表示： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. ∴PD=PE. O A B C P D E ┐ ┐ 教学目标 1.探究并证明角的平分线的判定. 2.会用角的平分线的判定解决实际问题. 3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用. 新知导入 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，它的逆命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”是否成立呢？ 新知探究 知识点 1 角平分线的判定 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 猜想: 如果 ， 那么 。 1、改写为： 在角的内部有一个点到角的两边距离相等 这个点在角的平分线上 2、画图，并用几何语言将“如果”“那么”改写为“已知”“求证” B A D O P E ┐ 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 新知探究 证明猜想 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB的平分线上.即OP为∠AOB的平分线 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E ∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 新知探究 角平分线判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 新知典例 例1 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ， D即为所求. O 方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. 新知典例 例2.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC. 求证：AD是∠BAC的平分线. ┐ C E A F D B ┐ BE=CF，DB=DC. Rt△BDE≌Rt△CDF. DE⊥AB，DF⊥AC ，DE=DF. AD是∠BAC的平分线. 分析： （直角三角形全等（HL）） （三角形全等的性质） （角的平分线的判定） 思考从问题出发 作答从已知开始 新知典例 例2.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC. 求证：AD是∠BAC的平分线. ┐ C E A F D B ┐ 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF， DB=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE=DF. ∴点D在∠BAC的平分线上， 即AD是∠BAC的平分线. 课堂练习 证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， 又∵∠BDE＝∠CDF， BE＝CF， ∴△BDE≌△CDF(AAS) ∴DE＝DF， ∴AD平分∠BAC. 1、如图，已知，BE＝CF，BF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF，CE交于点D. 求证：AD平分∠BAC. 新知探究 问题1：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 三角形的内角平分线 发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 知识点 2 问题2：那这一点到三角形三边的距离是否一样？ 到三条边的距离一样 你能证明这个结论吗？ 新知探究 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平 ... ...
