高中数学选择性必修第三册RJ·B--5.3 等比数列-5.3.2 等比数列的前n项和 课件（共29张PPT）

(课件网) 第五章 5.3 等比数列 5.3.2 等比数列的前项和 学习目标 1.探索并掌握等比数列的前项和公式. 2.会用等比数列的前项和公式解决一些与前项和有关的计算问题. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能解决与等比数列的前项和有关的实际问题. 4.掌握错位相减法，并能应用其求等比数列的前项和. 5.掌握等比数列前项和的性质，并能正确应用. 核心素养：数学运算、逻辑推理 新知学习 国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个 格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知1000颗麦粒的质量约为40 g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. 如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和. 思考：一般地，如何求一个等比数列的前项和呢？ 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则{an}的前n项和是Sn＝a1+a2+a3+…+an. 根据等比数列的通项公式，上式可写成 Sn＝a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. ① 我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得 qSn＝a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn. ② ①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得 Sn-qSn＝a1-a1qn， 即 （1-q）Sn＝a1（1-qn）. 因此，当q≠1时，我们就得到了等比数列的前项和公式 因为an＝a1qn-1，所以公式（1）还可以写成 当q＝1时，等比数列的前项和Sn等于多少？ Sn＝na1 对于等比数列的前项和公式应注意以下三点： （1）在推导等比数列的前项和公式时，通过乘公比错位相减推导公式的方法我们 称为错位相减法. （2）设等比数列{an}的首项为a1，公比为，则其前项和为 当未知时，要分两种情况讨论. （3）当时，要注意公式的灵活选择. 当已知时，用 当已知时，用 即时巩固 已知等比数列{an}的公比q＝，a8＝1，求这个数列前8项的和S8 . 解 因为a8＝a1q7，所以a1＝＝＝27， 因此S8＝＝＝28-1＝255. 思考 等比数列的前n项和公式与函数的关系 ①当q＝1时，Sn＝na1，是关于n的正比例函数； 当q≠1时，Sn＝-Aqn+A是关于n的一个指数式与一个常数的和，其中指数式的系数和常数项互为相反数，且A＝. ②当q＝1时，S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是正比例函数y＝a1x的图像上一系列孤立的点； 当q≠1时，S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是函数y＝-Aqx+A的图像上一系列孤立的点，如等比数列1，2，4，8，…的前n项和为Sn＝2n-1，点（n，Sn）是函数y＝2x-1的图像上一系列孤立的点，如图所示. 拓展：等比数列的前项和的性质 （1）等比数列（公比）中依次每k项之和构成的新数列仍然是等比数列， 即仍是等比数列，新数列的公比为 （2）若等比数列有项，则＝ 典例剖析 例1　已知数列{an}是等比数列. （1）若，，求； （2）若，； （3）若，，求 解：（1）因为＝，＝，所以 对于等比数列的相关量，，已知几个量就可以确定其他量？ （2）由，可得，即＝. 又由，所以 （3）把，代入 整理，得＝ 解得. 规律总结 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程. ... ...