1.2.4 二面角 教学设计（表格式）

教学设计 教学基本信息 课题 二面角 学科 数学 学段： 第四学段 年级 高二 教材 书名： 普通高中教科书数学选择性必修第一册B版 -出卷网-：人民教育-出卷网- 出版日期： 2019 年 8 月 教学目标及教学重点、难点 学习二面角的相关概念，了解二面角的表示方法； 了解二面角的平面角的概念，学会通过线面垂直的性质、三垂线定理和逆定理，作二面角的平面角； 学会应用解三角形的方法，求解二面角的平面角的大小. 着重培养学生的观察能力、抽象概括能力和空间想象能力，正确使用空间图形的描述方法，理解并掌握空间图形平面化的数学思想和解三角形的计算技巧. 共设计2道例题,分别在两个空间几何基本型———三棱锥、立方体中，学习并掌握寻找和作出二面角的平面角的方法，并完成角的求解和计算. 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 引入 日常生活中，很多场景都有平面与平面所成一定角度的形象，鳞次栉比的屋顶、有特点的建筑、公交车站候车亭、打开的书和笔记本、可拉伸的节能灯……如何刻画这些面与面所成的角，度量它们的大小呢？ 通过对生活中的观察，认识面与面相交的情况下几何图形的特征，引出对二面角及二面角的平面角的概念. 新课 一、二面角的相关概念 1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这个直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面. 2. 二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角. 3.二面角的平面角的作法 已知平面内一点A 过A作于B； 在平面内，过A作于C； 连接BC. 即为所求作的二面角的平面角. 二面角的大小 我们约定，二面角及其平面角的大小为. 直二面角 平面角是直角的二面角是指二面角，因此证明两个面垂直可以通过证明所成二面角为直二面角得到. 通过两个面相交的图形得到二面角的形象，从而引出二面角的表示. 借助二面角与平面角的对比，引出对二面角大小的度量方法的思考，得到二面角的平面角的概念十分自然. 借助点是线、面的元素，从已知面内一点，到得到二面角的平面角，作法中应用了线面垂直的性质，三垂线定理及其逆定理，是对垂直证明的回顾和复习. 通过运动变化的观点，研究二面角的范围，确定二面角的大小要通过准确的观察，突出了观察在解决立体几何题目的重要作用. 例题 例1. 如图三棱锥S-ABC中，面SAC⊥面ABC, SA=SC=√3，AB=BC=2，且AB⊥BC， 求（1）二面角S-AB-C的大小 二面角B-SA-C的大小 解：取AC,AB的中点D,E. 连接SD,DE,SE. 因为SA=SC, 所以SD⊥AC. 又因为面SAC⊥面ABC， 所以SD⊥面ABC. 所以SE在平面ABC内的射影为DE. 因为DE为△ABC的中位线，AB⊥BC，所以AB⊥DE, 从而由三垂线定理可知AB⊥SE， 所以∠SED为二面角S-AB-C的平面角. 由AB=BC=2且AB⊥BC可知，所以 . 又因为，从而在△SDE中，，从而可知∠SED=45°， 即所求二面角大小为45°. (2)解：连接BD， 因为BA=BC, 所以BD⊥AC. 又因为面SAC⊥面ABC， 所以BD⊥面SAC. 过D作DF⊥SA于F，连接BF. 因为DF⊥SA， 由三垂线定理可知BF⊥SA， 所以∠BFD为二面角B-SA-C的平面角. 因为SD=1, , 由△SAD的面积求法， 得. 由（1），所以，所以，即二面角为60°. 已知正方体, 棱长为1. 求（1）二面角的余弦值； （2）二面角的余弦值. 解：连接交于O，观察发现二面角是钝角，与二面角互补. 连接BO， 因为, ， 所以是二面角的平面角, 设二面角的平面角为，. 所以， 由同角关系可知，即二面角的余弦值为. 观察图形，正方体截面和截面均是正三角形. 解：取AB的中点E，连接. 所以， 所以是二面角的平面角. 正三角形边长为，高为.所以, 又. 在△中，由余弦定理得， 即二面角的余弦值为. 三棱锥是立体几何的基本图形， ... ...