*1.4 数学归纳法 A级必备知识基础练 1.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步验证( ) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 2.对于不等式0. (1)求a2,a3,a4,并由此猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的猜想. 参考答案 *1.4 数学归纳法 1.C 由题知,n的最小值为3,所以第一步验证n=3时不等式是否成立. 2.D n=1的验证及假设都正确,但从n=k到n=k+1的递推中没有使用假设,只是通过放缩法直接证明不等式,不符合数学归纳法证题的要求.故选D. 3.B 本题证明了当n=1,3,5,7,…时,命题成立,即对一切正奇数命题成立. 4.B 由f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),可知f(k+1)-f(k)=(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(2k-1)+2k+(2k+1)+2(k+1)-[k+(k+1)+(k+2)+…+2k]=3(k+1).故选B. 5.C 当n=k时,不等式左边为+…+,当n=k+1时,不等式左边为+…+,故不等式左边的变化是增加两项,同时减少一项. 6.证明(1)①当n=1时,左边=12=1, 右边=(-1)0×=1, 左边=右边,等式成立. ②假设当n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1·,那么,当n=k+1时,12-22+32-42+…+(-1)k-1·k2+(-1)k(k+1)2=(-1)k-1·+(-1)k(k+1)2=(-1)k(k+1)·(k+1)-=(-1)(k+1)-1·. 这表明,当n=k+1时,等式也成立. 根据①和②可以断定,对于任何n∈N+,等式都成立. (2)①当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-3,等式成立. ②假设当n=k时,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1), 那么,当n=k+1时,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1]. 这表明,当n=k+1时,等式也成立. 由①和②可以断定,等式对任何n∈N+都成立. 7.C 当n=2时,不等式的两边分别是1+<2-,故选C. 8.B 计算出 ... ...
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