【备战2014高考数学专题汇编】 专题9：数学解题方法之待定系数法 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 3～8专题，我们对数学思想方法进行了探讨，从本专题开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。 在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于高中数学教材的各个部分，在全国各地高考中有着广泛应用。 应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。 比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“设， 的反函数，那么的值依次为 ▲ ———，解答此题，并不困难，只需先将化为反函数形式，与中对应项的系数加以比较后，就可得到关于的方程组，从而求得值。这里的就是有待于确定的系数。 代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“与直线L：平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是 ▲ ———，解答此题，只需设定直线L’的方程为，将A(1,-4)代入即可得到k的值，从而求得直线L’的方程。这里的k就是有待于确定的系数。 消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知，求的值”，解答此题，只需设定，则，代入即可求解。这里的k就是消除的待定参数。 应用待定系数法解题的一般步骤是： （1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式； （2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）； （3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。 结合2013年全国各地高考的实例，我们从下面八方面探讨待定系数法的应用：（1）待定系数法在代数问题中的应用；（2）待定系数法在函数问题中的应用；（3）待定系数法在圆锥曲线问题中的应用；（4）待定系数法在三角函数问题中的应用；（5）待定系数法在数列问题中的应用；（6）待定系数法在向量问题中的应用；（7）待定系数法在立体几何问题中的应用；（8）待定系数法在其他问题中的应用。 一、待定系数法在代数问题中的应用： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2013年安徽省理5分）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则z＝【 】 A．1＋i B．1－I C．－1＋i D．－1－i 【答案】A， 【考点】复数代数形式的混合运算，复数相等的充要条件，待定系数法的应用。 【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则， 由，得2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi。 根据复数相等的充要条件得，解得。 ∴z＝1＋i。故选A， 例3. （2013年福建省理7分）选修4－2：矩阵与变换 已知直线l：ax＋y＝1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1. （1）求实数a，b的值； （2）若点P(x0，y0)在直线l上，且，求点P的坐标． 【答案】解：（1）设直线l：ax＋y＝1上任意点M(x，y)在矩阵对应的变换作用下的像是M′(x′，y′)， 由得， 又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，即x＋(b＋2)y＝1。 又变换后的直线l′为x＋by＝1， ∴解得。 （2）略 【考点】几种特殊的矩阵变换，矩阵变换的性质。 【分析】（1）任取直线l：ax+y=1上一点M（x，y），经矩阵A变换后点为M′（x′，y′），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线l′的方程，从而建立关于a，b的方程，即可求得实数a，b的值。 （2）略 例4. （2013年福建省理7分）选修4－5：不等式选讲 设不等式|x－2|
