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课件网) 第三章 圆锥曲线与方程 圆 椭圆 抛物线 双曲线 圆锥曲线 3.1.1 椭圆及其标准方程 一、情境引入 生活中的椭圆 如何画一个标准的椭圆呢？ 实验操作： F 2 F 1 M 取一条定长的细绳，把它的两端固定在图板的不同点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个什么图形？笔尖（动点）满足什么几何条件呢？ 1、笔尖到两个定点的距离和等于常数 2、这个常数大于两定点的距离 把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距. 椭圆的定义： F1 F2 M 把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点. 两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距. 椭圆的定义： F1 F2 M 思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？ |MF1|+ |MF2|＞|F1F2| 椭圆 |MF1|+ |MF2|=|F1F2| 线段 |MF1|+ |MF2|＜|F1F2| 不存在 在知道了椭圆的定义之后，我们怎样用方程来表示呢？ 探究2 椭圆的标准方程 设M(x，y)是椭圆上任一点， 椭圆的焦距为2c(c>0)， M与F1， F2的距离的和等于常数2a(a>0). 如图， 建立平面直角坐标系,则 由定义知： F1 F2 M (x,y) x y O 化简整理得 由椭圆定义知： 为了使方程形式更简单： 我们把方程①叫做椭圆的标准方程. ① 思考：观察图, 你能从中找出表示a，b，c的线段吗？ 椭圆的标准方程： F1 F2 M x y O (x,y) 如图， 若椭圆的焦点在x轴上， 则椭圆的标准方程为 其中焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)， c2＝a2-b2 F1 F2 P x y O c a b 探究：如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么 F1 F2 M x y O F1 F2 M x y O (x,y) (焦点在x轴上) (焦点在y轴上) 定义 焦点位置 图形 方程 特点 共同点 不同点 椭圆的标准方程: F1 F2 M x y O F1 F2 M x y O 焦点在x轴上 焦点在y轴上 从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点在哪个轴上 【判断】下列哪些方程表示椭圆？若是,则判定其焦点在哪条坐标轴？ (0,±2) 4 A A B D 【及时训练】 例1 解1: (定义法) 先定位 再定量 解2: (待定系数法) 例1 先定位 再定量 14 (4)经过点 y O F1 F2 x A B (1)由题意 故△AF1B的周长为： (2) 如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长不会有变化. 仍然成立. 解： ∴△AF1B的周长为： 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0). 由点M是线段PD的中点，得 例2 如图，在圆 上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD, D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹方程是什么？为什么？ x y P M O D 解：(相关点代入法) 【练习】课本115页第9题 例3 x y B M O A 解: 设点M (x, y)，由A(-5, 0), B(5, 0)，可得 4. 已知A, B两点的坐标分别是(－1,0), (1,0), 直线AM, BM相交于点M, 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2, 点M的轨迹是什么 为什么 解：设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得 直线AM的斜率为 直线BM的斜率为 y O F1 F2 P x 解得 证明： 椭圆的焦点三角形面积公式： 【练习】1、 2、 3 ... ...
