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课件网) 1.2 空间向量基本定理 知识点一 空间向量基本定理 平面向量基本定理 问题：在空间中，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量来表示呢？阅读课本11-12页 如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使 .若 不共线，我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 空间向量基本定理 如图，设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点o，对于任意一个空间向量，设为在所确定的平面上的投影向量，则=+，又向量，共线，因此存在唯一实数z，使得=z，从而 =+z . 而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使得 =x+y . =+z = x+y+z . 因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量存在唯一有序实数组（x，y，z），使得 =x+y+z . 我们称xyz分别为向量在上的分向量。 1 探究 在空间中，如果用任意三个不共面的向量，代替两两垂直的向量你能得出类似的结论吗 空间向量基本定理 空间向量基本定理： 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组()，使得 =++. 我们把定理中的叫做空间的一个基底，都叫做基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 空间向量基本定理 特别地， 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量,，均可分解为三个向量，使=，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 做一做 练习1. 判断下列说法是否正确： (1) 空间向量的基底是唯一的.( ) (2) 若是空间向量的一个基底，则均为非零向量. ( ) (3) 已知A，B，M，N是空间四点，若， ， 不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面. ( ) (4) 若{}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得=0，则有x=y=z=0.( ) 例题精讲 例1 设向量a，b，c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是( ) A．{a－2b，3a－b，0} B．{a，b，a＋b} C．{3a＋b，a＋b，c} D．{a＋b＋c，a＋b，c} C 例题精讲 变式：已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？ 解析（2）假设，，共面，设=x+y e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)+y(e1＋e2－e3) =(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3 {e1，e2，e3}是空间的一个基底，e1，e2，e3不共面 ，方程无解， 故，，能作为空间的一个基底 例题精讲 例2：如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=ON，AP=AN，用向量，，表示. 解析： 例题精讲 解析：证明:设 这三个向量不共面，{, }构成空间的一个基底，我们用它们表示,则 所以 = = 所以 M N 例3：已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5， ∠BAD＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M、 N分别为D1C1，C1B1的中点. 求证MNAC1. 课堂检测 例4 如图，在平行六面体 ABCD -A'B'C'D'中， AB=2， AD=2， AA'=3，BAD=BAA'=DAA'=60°，求BC'与CA'所成角的余弦值. 解析:设= a , =b , =c,因为这三个向量不共面,所以{a，b，c}构成空间的一个基底. 则=+ =+=b+c , === ab+c , 所以= (b+c)·(ab+c)= a·bb·bb·ca·c b·c + c·c = 2×2× 22+2×3× 2×3× 2×3×+32=0 所以==0. 所以BC'与CA'所成角的余弦值为0. 课堂检测 1. 已知四面体OABC，OB=OC，AOB=AOC=. 求证OABC. 证明：因为OB = OC，所以 所以 所以，所以. 课堂检测 2.如图,已知正方体 ABCD -A'B'C'D'， CD'和DC'相交于点O，连接AO，求证AOCD'. 解：设= ... ...
