2013年福建省高中数学竞赛试卷及参考答案

2013年福建省高中数学竞赛 暨2013年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案 （考试时间：2013年9月7日上午9：00－11：30，满分160分） 一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知数列满足，（），则的最小值为 。 【答案】 【解答】由，知， ，，……，，。 上述个等式左右两边分别相加，得。 ∴ ，又时，；时，。 ∴ 时，取最小值。 2．对于函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则称函数在上的几何平均数为。已知，，则函数在上的几何平均数 。 【答案】 【解答】 ∵ 当时，， ∴ 在区间上为增函数，其值域为。 ∴ 根据函数几何平均数的定义知，。 3．若三个非零且互不相等的实数、、满足，则称、、是调和的；若满足，则称、、是等差的。已知集合，集合是集合的三元子集，即。若集合中元素、、既是调和的，又是等差的，则称集合为“好集”。则不同的“好集”的个数为 。 【答案】 1006 【解答】若、、既是调和的，又是等差的，则，，。 即“好集”为形如（）的集合。 由“好集”是集合的三元子集知，，，且。 ∴ ，，且。符合条件的可取1006个值。 ∴ “好集”的个数为1006。 4．已知实数，满足，且，则的最小值为 。 【答案】 【解答】由知，。 ∴ 。 设，则， 。 当且仅当，即，，时等号成立。 ∴ 的最小值为27。 5．如图，在四面体中，，是边长为3的等边三角形。若，则四面体外接球的面积为 。 【答案】 【解答】如图，设正的中心为，四面体外接球的球心为。则，，。 取中点。 由知，，，。 于是，。 ∴ 四面体外接球半径为2，其面积为。 6．在正十边形的10个顶点中，任取4个点，则以这4个点为顶点的四边形为梯形的概率为 。 【答案】 【解答】设正十边形为。则 以为底边的梯形有、、共3个。同理分别以、、、…、、为底边的梯形各有3个。这样，合计有30个梯形。 以为底边的梯形有、共2个。同理分别以、、、…、、为底边的梯形各有2个。这样，合计有20个梯形。 以为底边的梯形只有1个。同理分别以、、、…、、为底边的梯形各有1个。这样，合计有10个梯形。 所以，所求的概率。 7．方程在区间内的所有实根之和为 。（符号表示不超过的最大整数）。 【答案】 12 【解答】设，则对任意实数，。 原方程化为。 ① 若，则，（）。 ∴ （）。结合知，，1，2，3，4，5，6。 经检验，，2，4，6符合要求。 ② 若，则，（）。 ∴ （）。结合知，，，。 经检验，，，均不符合要求。 ∴ 符合条件的为0，2，4，6，它们的和为12。 8．已知为上增函数，且对任意，都有，则 。 【答案】 10 【解答】依题意，为常数。设，则，。 ∴ ，。易知方程有唯一解。 ∴ ，。 9．已知集合的元素都是整数，其中最小的为1，最大的为200。且除1以外，中每一个数都等于中某两个数（可以相同）的和。则的最小值为 。（符号表示集合中元素的个数） 【答案】 10 【解答】易知集合符合要求。此时，。 下面说明不符合要求。 假设集合，符合要求。 则，，，，，，。 由于，因此，，。 同理，由，知，，。 由，知，，。 由，知，，与为整数矛盾。 ∴ 不符合要求，。同理，也不符合要求。 因此，的最小值为10。 10．已知函数，则函数在区间上的最大值为 。 【答案】 【解答】若为有理数，且。设（，）， 由知，，。 当时，不存在； 当时，存在唯一的，此时，。 当时，设，其中，且，此时。 ∵ ， ∴ 若为有理数，则时，取最大值。 又为无理数，且时，。 综合以上可知，在区间上的最大值为。 二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程） 11．将各项均为正数的数列排成如下所示的三角形数阵（第行有个数，同一行中，下标小的数排在左边）。表示数阵中，第行、第1列的数。已知数列为等比数 ... ...