《步步高》2013版高考数学（文）大一轮复习讲义（人教A版）配套练出高分：第七章 不等式（含答案解析，4份）

§7.4　基本不等式 A组　专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2011·陕西)设00，即>a，D错误，故选B. 2． (2012·福建)下列不等式一定成立的是 (　　) A．lg>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 答案　C 解析　当x>0时，x2＋≥2·x·＝x， 所以lg≥lg x(x>0)，故选项A不正确； 而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确； 由基本不等式可知，选项C正确； 当x＝0时，有＝1，故选项D不正确． 3． 设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为 (　　) A．2 B. C．1 D. 答案　C 解析　由ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a>1，b>1知x>0，y>0，＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝1，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，则＋的最大值为1. 4． 已知00. ∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝. 当x＝1－x，即x＝时取等号． 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为_____． 答案　3 解析　∵x>0，y>0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号． 6． (2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则·的最小值为_____． 答案　9 解析　＝5＋＋4x2y2 ≥5＋2＝9， 当且仅当x2y2＝时“＝”成立． 7． 某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_____． 答案　20 解析　设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为×2＝，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为＋x≥2＝40，当且仅当＝x，即x＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨． 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： (1)＋＋≥8； (2)≥9. 证明　(1)＋＋＝＋＋ ＝2， ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)． (2)方法一　∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋， 同理，1＋＝2＋， ∴＝ ＝5＋2≥5＋4＝9. ∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)． 方法二　＝1＋＋＋. 由(1)知，＋＋≥8， 故＝1＋＋＋≥9. 9． (12分)为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长 方体沉淀箱(如图所示)，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设 箱的底长为a m，高度为b m．已知流出的水中该杂质的质量分别与 a，b的乘积成反比，现有制箱材料60 m2.问：当a，b各为多少米时， 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计) 解　方法一　设y为流出的水中该杂质的质量分数， 则y＝，其中k>0为比例系数，依题意，求使y值最小的a，b的值． 根据题设，有4b＋2ab＋2a＝60 (a>0，b>0)， 解得b＝ (00，b>0)， 即a＋2b＋ab＝30 (a>0，b>0)． 因为a＋2b≥2，所以2·＋ab≤30， 当且仅当a＝2b时，上式取等号． 由a>0，b>0，解得0