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课件网) 3.3二项式定理与杨辉三角 教学目标： 通过讲解二项式定理与杨辉三角，使学生能够深刻理解并熟练运用二项式定理解决生活中的问题，并了解杨辉三角的发现与历史。 考情： 二项式定理是高考的一个重要考点，分值在5分左右，主要出题形式是填空题或选择题。 思考：小张在进行投篮练习，共投了10次，只考虑是否投中，那么不难知道，投篮结果可以分成11类：投中0次，投中1次，投中2次 投中10次.而投中0次只有1（即 ）种情况，投中1次有 种情况，投中2次有 种情况 投中10次有 种情况.因此，小张投篮10次，结果共有 种情况.那么上式的结果是多少呢？ 利用本节我们要学习的二项式定理，可以快速解答这个问题. 一、二项式定理 我们知道 而且 上述得到 的展开式的过程较为繁琐的，如果要用这样的方法去得到 ， 等的展开式是很麻烦的.那么我们有没有其他办法来得出 呢？ 一、二项式定理 观察 中右边各项是如何组成的，由此总结出一般规律. 展开式中的任何一项都是在右边3个括号中 各取一个字母相乘得到的 1个取b，剩下的2个取a 有 个 . 因此展开式中每一项都一定是3次项，即展开式中只能含有 出发， 从 一、二项式定理 同理可知，展开后有 个 . 可以看成右边的3个括号中取0个 得到的结果 可以看成右边的3个括号中取3个 得到的结果 因此 用同样方法可知 二项式定理 一般地，当 是正整数时，有 一、二项式定理 二项式定理 一般地，当 是正整数时，有 的展开式共n+1项 展开式中的第k+1项,用 表示 其中 称为第k+1项的二项式系数， 将 称为二项展开式的通项公式. 中，要求n是正整数，k是满足 的自然数，以后不再声明. 学生笔记 3.3二项式定理与杨辉三角 1.二项式定理 一般地，当 是正整数时，有 的展开式共n+1项 展开式中的第k+1项,用 表示 ：第k+1项的二项式系数， ：二项展开式的通项公式. 一、二项式定理 展开式中某一项的系数与二项式系数，一般情况下并不相等 例1：写出 的展开式. 展开式中，可以看出常数项是32 在二项式定理中令 可得 x 的系数是-80， 注意到展开式中第1项的二项式系数是 第2项的二项式系数是 一、二项式定理 要使此项含x3,必须有9-2k=3，从而有k=3， 因此含x3的项为 例2：求 的展开式中含 的项. 所以展开式中的第k+1项为 一、二项式定理 要得到常数项，必须有3-k=0，从而有k=3，因此常数项是第4项，且 例3：求 的展开式中常数项的值和对应的二项式系数. 所以展开式中的第k+1项为 从而可知常数项的值为160， 其对应的二项式系数为 二、二项式系数的性质 在二项式定理中，分别令 为以下特殊值， 写出所得到的等式： 也就是说 学生笔记 3.3二项式定理与杨辉三角 2.二项式系数的性质 令 令 要使此项含x6,必须有20-2k=6，从而有k=7， 因此含x6的项为 例4：已知 的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求展开式中含 的项. 二、二项式系数的性质 依题意可知 ，因此n=10. 从而展开式的通项为 三、杨辉三角 “杨辉三角“ 因为 ，所有可以把n=0对应的二项式系数看成是1. 把n=0，1，2，3，4，5，6对应的二项式系数逐个写出，并排列数表的形式. 三、杨辉三角 我国古代数学家甲宪（北宋人）在1050年前后就给出了类似的数表，并利用数表进行高次开方运算，如上右图，这一成果在南宋数学家杨辉著的《详解九章算术》中得到摘录.因此，这一数表在我国被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”. 西方文献中，一般称其为“帕斯卡三角”，这些文献认为类似的数表是数学家帕斯卡于1654年发现的. 三、杨辉三角 杨辉三角至少具有以下性质： （1）每一行都是对称的，且两端的数都是1； （2）从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和. 三、杨辉三 ... ...
