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课件网) 2.2椭圆的标准方程（第1课时） 第 2章 圆锥曲线 沪教版2020选修第一册 学习目标 1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点) 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 椭圆是一类重要的曲线．早在１６０９年，德国天文学家开普勒 提出行星运动定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳转 动，而太阳则处在椭圆的一个焦点上．生活中我们还可以在许多 地方看到椭圆的形状，如篮球在地面上的影子边界，圆柱（台） 形水杯倾斜时液面的边界线，等等． 在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是： 移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1, F2的距离之和是定值, 并且这个定值大于两定点间的距离，即 由此可得椭圆的定义. 动画演示 平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距. 1. 椭圆的定义: 思考 动点的轨迹是椭圆应满足什么条件？ ① 在平面内--(这是前提条件)； ② 动点M到两个定点F1, F2的距离之和是常数； 动点M的轨迹是线段F1F2 ； 动点M没有轨迹 . F1 F2 M ③ 下面我们根据椭圆的几何特征, 选择适当的坐标系, 建立椭圆的方程. 下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，推导椭圆方程， 并通过方程研究椭圆的性质. F1 F2 M x y O 如图示, 建立平面直角坐标系.设M(x,y)是椭圆上任一点, 椭圆的焦距为2c(c>0), M与F1, F2的距离的和等于常数2a(a>0), 则 (x,y) 由定义知： 化简整理得 由椭圆定义知： 为了使方程形式更简单： ① 我们把方程①叫做椭圆的标准方程. 思考1 观察图, 你能从中找出表示a,b,c的线段吗？ 由图可知， 2. 椭圆的标准方程: F1 F2 M x y O (x,y) 如图示, 若椭圆的焦点在x轴上, 则椭圆的标准方程为 其中焦点坐标为F1(－c,0), F2(c,0), c2＝a2－b2. F1 F2 P x y O c a b 思考2 如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么 F1 F2 M x y O F1 F2 M x y O (x,y) (焦点在x轴上) (焦点在y轴上) 定义 焦点位置 图形 方程 特点 共同点 不同点 椭圆的标准方程: F1 F2 M x y O F1 F2 M x y O 焦点在x轴上 焦点在y轴上 例1.已知椭圆的焦距是６，椭圆上的某点到两个焦点的距离的和等于１０，求椭圆的标准方程 解 因为椭圆焦点在x轴上，所以可设其方程为 解1: (定义法) 解2: (待定系数法) 【方法说明】 (3) 求椭圆的标准方程，要先定“位”， 1. 求椭圆标准方程的主要方法有： a, b, c 满足的关系有： 根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值. 用定义寻找a, b, c的方程； (1) 定义法： (2) 待定系数法： 待定系数法更为常用，是解此类问题的通法. 即求 a, b 的大小 . 即确定焦点的位置； 其次是定“量”， 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0). 由点M是线段PD的中点，得 例3 如图，在圆 上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD, D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹是什么？为什么？ x y P M O D 寻求点M的坐标(x,y)中x, y与x0, y0之间的关系,然后消去x0, y0, 得到点M的轨迹方程. 这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法. 利用信息技术, 可以更方便地探究点M的轨迹的形状. 解1：(相关点代入法) x y P M O D 解2：(参数法) ∵ P 在圆 x2 + y2 = 4 上， ∴ 可设P(2cosθ, 2sinθ), 消去参数θ，得 ∴点M的轨迹是一个椭圆 . 设 点M的坐标为(x, y), 由题意有 例3 如图，在圆 上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 ... ...
