3.3.2课时2：直线与抛物线的位置关系- 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修一同步练习（含答案）

3.3.2课时2：直线与抛物线的位置关系 已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，若的中点的纵坐标为，则( ) A. B. C. D. 抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是( ) A. B. C. D. 已知直线与抛物线相切，则等于( ) A. B. C. D. 已知，为抛物线：上异于顶点的两点，是等边三角形，其面积为，则的值为( ) A. B. C. D. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则( ) A. 若，则 B. 以为直径的圆与准线相切 C. 设，则 D. 过与抛物线有且仅有一个公共点直线至多有条 设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则．( ) A. B. 以为直径的圆的面积大于 C. 直线过定点 D. 点到直线的距离不大于 如图，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点、、、，则的值是 已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是 ． 抛物线上到直线距离最短的点的坐标是 ；最短距离是 ． 已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则_____． 如图，过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为，的直线，分别交抛物线于，两点． 求抛物线的标准方程和准线方程； 若，证明：直线恒过定点． 已知抛物线：经过点． Ⅰ求抛物线的方程及其准线方程； Ⅱ设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 已知抛物线的焦点为，过且与轴垂直的直线交该抛物线于，两点，． 求抛物线的方程； 过点的直线交抛物线于，两点，若的面积为，求直线的斜率其中为坐标原点． 已知抛物线：过点过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点． 求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程； 求证：为线段的中点． 已知抛物线：的焦点为，且与圆：上点的距离的最小值为． 求； 若点在上，，为的两条切线，，是切点，求面积的最大值． 答案和解析 1.【答案】 【解析】 【分析】 本题主要考查了抛物线性质的应用，直线与抛物线的位置关系，属于基础题． 由抛物线的定义，得，根据中点的坐标公式，得，代入即可求解． 【解答】 解：由抛物线：可知，，得到，， 设，，因为的中点的纵坐标为， 所以，则． 故选C． 2.【答案】 【解析】 【分析】 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断为等边三角形是解题的关键，先判断为等边三角形，求出的坐标，可求出等边的边长的值，由此即可求解． 【解答】 解：由抛物线的定义可得， 的斜率等于， 的倾斜角等于， ， ，故为等边三角形． 又焦点，的方程为， 设，， 由得， ， ， 等边三角形的边长， 的面积是， 故选C． 3.【答案】 【解析】 【分析】 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，属于基础题． 联立直线与抛物线的方程，利用根的判别式为即可求解． 【解答】 解：由消去得， 由于直线与抛物线相切， 所以解得． 故选C． 4.【答案】 【解析】 【分析】 本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于拔高题． 设，，由抛物线对称性，知点、关于轴对称，可设直线的方程，联立，解得，由是等边三角形可解得的值． 【解答】 解：设，， ， ． 又，， ， 即． 又、与同正， ． ，即． 由抛物线对称性，知点、关于轴对称． 又，所以不妨设直线的方程为：， 联立，解得． 面积为， ， 又， ． 故选A． 5.【答案】 【解析】 【分析】 本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系． 由题知，抛物线的焦点，准线方程为，然后逐项分析解答即可． 【解答】 解：由题知，，抛物线的焦点，准线方程 ... ...