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课件网) 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 平 面 目标导航 课标要求 1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法. 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系. 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地位与作用. 素养达成 通过对平面及公理的学习,培养学生的空间想象能力. 1.平面的概念 几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是 的. 2.平面的画法 (1)水平放置的平面通常画成一个 ,它的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的 .如图①. (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用 画出来.如图②. 无限延展 平行四边形 2倍 虚线 所有点 (2)一些文字语言与数学符号的对应关系: A∈l 文字语言 表达 数学符号 表示 文字语言 表达 数学符号 表示 点A在 直线l上 . 点A在 直线l外 . 点A在平 面α内 . 点A在平 面α外 . 直线l在 平面α内 . 直线l在 平面α外 . 直线l,m 相交于点A l∩m=A 平面α,β 相交于直线l α∩β=l A l A∈α A α l α l α 5.平面的基本性质 两点 公理 内容 图形 符号 作用 公 理 1 如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在此平面内 , ,且 , l α 用来证明直线在平面内 公 理 2 过 . 的三点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的α使A,B,C∈α 用来确定一个平面 A∈l B∈l A∈α B∈α 不在一条直 线上 公 理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条 . . , α∩β=l,且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点 过该点的公共 直线 思考1:过空间三点能作几个平面 答案:1个或无数个.当三点不共线时只有一个,当三点共线时有无数个. 思考2:过直线与直线外一点能否唯一确定一平面 两条相交直线能否唯一确定一平面 两条平行直线呢 答案:由公理2,易证明上述三个问题中均能唯一确定一平面. P∈α P∈β 注意： (1)平面和点、直线一样,是只描述而不加定义的原始概念,不能进行 度量; (2)平面无厚薄、无大小,是无限延展的. 题型一 文字语言、图形语言、符号语言的转换 [例1] 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系. (1)点P与直线AB; (2)点C与直线AB; (3)点M与平面AC; (4)点A1与平面AC; (5)直线AB与直线BC; (6)直线AB与平面AC; (7)平面A1B与平面AC. 解: (1)点P∈直线AB. (2)点C 直线AB. (3)点M∈平面AC. (4)点A1 平面AC. (5)直线AB∩直线BC=点B. (6)直线AB 平面AC. (7)平面A1B∩平面AC=直线AB. 方法技巧 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示. (2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”表示,直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”表示. (3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的 区别. 即时训练1-1:根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形: (1)A∈α , B α; (2)l α,m∩α=A , A l; (3)P∈l , P α , Q∈l , Q∈α. 解:(1)点A在平面α内,点B不在平面α内; (2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上; (3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q. 图形分别如图(1),(2),(3)所示. 题型二 点线共面 [例2] 证明:两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内. 证明:法一(纳入法) 因为l1∩l2=A, 所以l1和l2确定一个平面α. 因为l2∩l3=B, 所以B∈l2.又因为l2 α, 所以B∈α. 同理可证C∈α. 又因为B∈l3,C∈l3,所以l3 α. 所以直线l1,l2,l3在同一平面内 ... ...
