等差数列及其前项和 1定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，记为. 代数形式：是常数) Eg：是公差为的等差数列； 是公差为的等差数列； 不是等差数列. 2 等差中项 若成等差数列，则称与的等差中项，则. 3通项公式 等差数列的首项为，公差为，则. (由定义与累加法可得) 4 前项和 等差数列的首项为，公差为，则其前项和为 (由倒序相加法可证) 5 证明一个数列是等差数列的方法 ① 定义法： 是常数，是等差数列； ② 中项法： 是等差数列； ③ 通项公式法： 是常数) 是等差数列； ④ 前项和公式法： 是常数)是等差数列； 注：方法③④不可以在解答题里直接使用. 6 基本性质(其中 若数列是首项为，公差为的等差数列，它具有以下性质： 若, 则； ； ； 下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列； 数列(是常数)是公差是的等差数列； 若数列也是等差数列，则数列(为非零常数)也是等差数列； 成等差数列； . 【题型一】等差数列的基本运算 【典题1】已知为等差数列，若，则 . 【典题2】 已知等差数列的公差不为，其前项和为，且成等差数列，则下列四个选项中正确的有( ) A． B． C． D．最小 【典题3】 设为正项等差数列的公差，若，则( ) A． B． C． D． 巩固练习 1 (★) 已知数列中，，．若为等差数列，则 . 2 (★) 等差数列满足，，则 . 3 (★) 【多选题】记为等差数列的前项和，若，，则下列正确的是( ) A． B． C． D． 4 (★★) 【多选题】设数列是等差数列，是其前项和，且，则( ) A． B． C．或为的最大值 D． 5 (★★) 【多选题】等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是( ) A． B．当或时，取最大值 C． D． 6 (★★) 【多选题】已知数列是首项为，公差为的等差数列，则下列判断正确的是( ) A． B．若，则 C．可能为 D．可能成等差数列 7 (★★) 【多选题】已知无穷等差数列的公差，且是中的三项，则下列结论正确的是( ) A．的最大值是 B． C．一定是奇数 D．一定是数列中的项 8 (★★) 已知等差数列的前项和为，若成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项与最小项． 【题型二】等差数列的判断与证明 【典题1】 数列的前项和． 求数列的通项公式； 求证：是等差数列． 【典题2】 已知数列满足：，， 求证：数列等差数列； 求． 【典题3】已知数列的前项和为，，，，其中为常数． 证明：； 是否存在，使得为等差数列？并说明理由． 巩固练习 1 (★) 已知是公差为的等差数列，是公差为的等差数列，且，则{}为( ) A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公比为的等比数列 D．公比为的等比数列 2(★★) 设数列的前项和为，且对任意正整数，．若则数列为( ) A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列 C．公比数列为的等比数列 D．公比数列为的等比数列 3 (★★) 数列中，已知，，且，，则此数列为( ) A．等差数列 B．等比数列 C．从第二项起为等差数列 D．从第二项起为等比数列 4 (★★) 数列中，，，若存在实数，使得数列为等差数列，则 ． 5 (★★) 已知数列的前项和为，求证数列{}是等差数列． 6 (★★) 已知数列中，，．证明是等差数列，并求的通项公式. 7(★★★) 设数列满足：，，证明数列{}是等差数列并求数列的通项公式. 8(★★★) 已知数列满足，且． (1)求，的值； (2)是否存在一个实常数，使得数列为等差数列，请说明理由． 【题型三】等差数列的基本性质及运用 【典题1】 已知等差数列满足，，则 . 【典题2】 已知两个等差数列，的前项和分别为，若对任意的整数，都有，则等于 . 【典题3】 已知是等差数列的前项和，且，给出下列五个命题： ①； ②； ③ ... ...
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