中小学教育资源及组卷应用平台 整式的乘法与因式分解 14.3 因式分解 14.3.2 公式法：利用平方差公式进行因式分解 用平方差公式分解因式 平方差公式：a2－b2=(a＋b)(a－b) 即：两个数（或两个式子）的平方差，等于这两个数（或这两个式子）的和与差的积。 注意： 能否用平方差公式分解因式的关键：看原式是否符合公式的形式（a2－b2的形式）。 应用平方差公式分解因式的关键：弄清公式中的a，b各是什么； [命题角度1] 运用平方差公式分解因式 【类型一】 判定能否利用平方差公式分解因式 【例1】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( ) A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9 解析：A中a2＋(－b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2－20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中－x2－y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中－x2＋9＝－x2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D. 方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． 【类型二】 利用平方差公式分解因式 【例2】 分解因式： (1)9a2－4b2 (2)(x＋y)2－4 (3)(a－b)2－(a＋2b)2 解析：直接运用平方差公式分解因式即可 解：(1) 原式=(3a)2－(2b)2=(3a＋2b)(3a－2b)； (2) 原式=(x＋y)2－22=(x＋y＋2)(x＋y－2)； (3) 原式=[(a－b)＋(a＋2b)][(a－b)－(a＋2b)]=(2a＋b)·(－3b)=－3b(2a＋b) 方法总结：运用平方差公式分解因式时，一定要确定哪一项是公式中的“a”，哪一项是公式中的“b”。 【类型三】 提公因式后利用平方差公式分解因式 【例3】分解因式： (1)a3－9a； (2)4x4－36x2y2； (3)2(a－b)2－8b2。 解析：需先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可。 解：(1)原式=a(a2－9)=a(a＋3)(a－3) (2)原式=4x2(x2－9y2)=4x2(x＋3y)(x－3y) (3)原式=2[(a－b)2－4b2]=2(a－b＋2b)(a－b－2b)=2(a＋b)(a－3b) 方法总结：若多项式的各项有公因式，要先提公因式，再运用平方差公式分解因式，最后结果一定要化简到不能再分解为止。 【类型四】 多次利用平方差公式分解因式 【例4】把多项式－x4＋16分解因式，其结果为（ ） A.(4＋x2)(2＋x)(2－x) B.(x2＋4)(x2－4) C.(16＋x2)(4＋x)(4－x) D.－(4＋x2)(2＋x)(2－x) 解析：利用平方差公式进行多次因式分解即可 解：原式=16－x4=42－(x2)2=(4＋x2)(4－x2)=(4＋x2)(2＋x)(2－x)，故选A 方法总结：能够运用平方差分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。要注意再第一次分解完成以后，要检查是否还能继续分解。 [命题角度2] 运用平方差公式分解因式的应用 【类型五】 利用因式分解整体代换求值 【例5】已知x2－y2＝－1，x＋y＝，求x－y的值． 解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x＋y的值代入计算即可求出x－y的值． 解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，x＋y＝，∴x－y＝－2. 方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便． 【类型六】 利用因式分解解决整除问题 【例6】248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数． 解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可． 解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)． ∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63. 方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除． 【类型七】 利用平方差公式进行简便运算 【例7】利用因式分解计算： (1)1012－992； ( ... ...
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