人教B版高中数学必修第一册《一元二次方程的解集及其根与系数的关系》教学设计二

《一元二次方程的解集及其根与系数的关系》教学设计 教学设计 一、阅读引导，核心总结 1.阅读教材，问题导入. 《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何.根据题中的描述可画出示意图如下，其中点代表北门，处是木，点代表南门，而且=20，=14，_____. 如果设正方形的边长为，则有 ， . 根据可知，从而，因此 ，整理得.你会解这个方程吗？ 提示：由，得， 所以或（舍去）. 2.归纳总结，核心必记. （1）一元二次方程的解集： ①当时，方程的解集为； ②当时，方程的解集为； ③当时，方程的解集为. （2）若的两根为，，则，. （3）若的两根为，，那么，. 设计意图：由于本部分知识在初中已经有所学习，所以在这里就直接给出结论了，既让学生复习了初中所学知识，又为后面的内容深化打下了坚实的基础. 二、知识深化 1.一元二次方程的解集. 探究方程的解集的求法，完成下列思考. 思考1：该方程是否是一元二次方程？ 提示：不是，但是用换元法令，原方程可化为，是一个关于的一元二次方程. 思考2：方程的解是否都符合题意？ 提示：不是.由换元的过程知，只能保留非负根. 思考3：最后写解集时需要注意什么问题？ 提示：应根据的值，求出的值，写在解集中. 设计意图：通过本题让学生明确：一元二次方程的形式是多种多样的，即使未知数的次数不是2次，也可以通过换元的方法将其变成一元二次方程，只是要注意换元过程中的未知数的定义域是否发生了改变. 2.一元二次方程根与系数的关系. 回答下列问题： 思考1：设和是一元二次方程的两个根，则吗？提示：不等于.两根之和是-5. 思考2：设和是一元二次方程的两个根，则吗？ 提示：不等于.将方程化为一般式，常数项是-1，所以. 思考3：设和是一元二次方程的两个根，则吗？ 提示：等于. 教师提醒学生注意：在使用根与系数的关系时，必须先把方程化为一般形式，否则得出的结果一般是错误的. 三、例题剖析 例1 求方程的解集： （1）； （2）； （3）. 想一想1：一元二次方程的解集中，元素的个数有几种情况？ 想一想2：判别式是如何计算的？ 想一想3：判别式与解集是如何对应的？ 解：（1），所以方程有两个根，分别为，，所以方程的解集是. （2）方程化为，则，所以方程有两个相等的根，即，所以方程的解集是. （3）方程化为，则，所以方程无根，所以方程的解集是. 练习：教材第50页练习A第1题. 归纳总结 求一元二次方程的解集的一般步骤： ①把方程化为一般形式，确定，，的值，计算； ②判断的符号，并求出方程的根； ③根据根的大小，写出解集. 例2 已知一元二次方程的两根分别是，，请利用根与系数的关系求：（1）；（2）. 想一想1：由根与系数的关系可以得出什么结论？ 想一想2：要求的两个式子如何用两根之和、两根之积表示出来？ 解：根据一元二次方程根与系数的关系，得，. （1）. （2）. 练习：教材第51页练习B第2题. 归纳总结 运用根与系数的关系时应注意： ①方程要化成一般式； ②根的判别式； ③注意二次项系数、一次项系数以及常数项的符号. 例3 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根的平方和等于15，求实数的值. 想一想1：如何探求方程有两个不相等的实数根？ 想一想2：如何用两根之和、两根之积去表示两根的平方和？ 解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， . （2）设此方程的两个实数根分别为，， 则，. 两个实数根的平方和等于15， ， 解得：，. 变式思考： （1）如何求该方程的解集？ （2）如何求？ 四、巩固提升 教材第56页习题2-1A第3，5题. 五、课堂总结 通过今天的学习，你有什么收获？ 板书设计 ... ...