中小学教育资源及组卷应用平台 一元二次函数与幂函数 【考纲解读】 理解一元二次函数和幂函数的定义； 掌握一元二次函数和幂函数的图像与性质，能够运用一元二次函数和幂函数的图像与性质熟练解答相关的数学问题。 【知识精讲】 一、一元二次函数的概念： 1、一元二次函数的定义： 形如y =a+bx+c(a≠0)的函数,叫做一元二次函数； 2、二次函数常见的表示式： （1）一般式:y =a+bx+c(a≠0)； （2）顶点式：y =a+，其中顶点坐标是（-,）； （3）零点式：y =a（x-）(x-)，其中，是方程a+bx+c=0(a≠0)的根，也是抛物线y =a+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标。 二、一元二次函数的图像： 1、二次函数的图像： （1）一元二次函数的图像是一条抛物线； （2）当a＞0时，一元二次函数图像的抛物线开口向上；当a＜0时，一元二次函数图像的抛物线开口向下。 2、二次函数的图像的作法： 作一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)的图像的基本方法是：①确定一元二次函数图像的抛物线开口方向；②确定一元二次函数图象的对称轴x=-；③求出一元二次函数图象的顶点坐标（-,）；④求出一元二次函数图象与x轴的交点的横坐标，可以通过解方程 a+bx+c=0(a≠0)得到；⑤作出一元二次函数的大致图象。 三、一元二次函数的性质： 1、一元二次函数y =a+bx+c(a＞0)的性质： 当a＞0时，一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)图像的抛物线开口向上，对称轴为x=-,顶点坐标是（-,），函数在区间（-∞，- ）上单调递减，在区间（- ，+∞）上单调递增，当x=-时，函数y取得最小值，无最大值；方程a+bx+c=0（a≠0）的判别式是⊿=-4ac，（1）当⊿＞0时，一元二次函数的图像与x轴有两个不同的交点， （2）当⊿=0时，一元二次函数的图像与x轴只有一个交点，（3）当⊿＜0时，一元二次函数的图像与x轴没有交点； 2、二次函数y =a+bx+c(a＜0)的性质： 当a＜0时，一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)图像的抛物线开口向下，对称轴为x=-, 顶点坐标是（-,），函数在区间（-∞，- ）上单调递增，在区间（- ，+∞）上单调递减，当x=-时，函数y取得最大值，无最小值；方程a+bx+c=0（a≠0）的判别式的判别式是⊿=-4ac，（1）当⊿＞0时，一元二次函数的图像与x轴有两个不同的交点， （2）当⊿=0时，一元二次函数的图像与x轴只有一个交点，（3）当⊿＜0时，一元二次函数的图像与x轴没有交点； 四、一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系： a+bx+c=0 ⊿＞0 ⊿=0 ⊿＜0 (a≠0) ≠ = 没有实数根 y =a+bx+c (a＞0) a+bx+c＞0 （-∞， ） （-∞， ） (a＞0)的解集 （，+∞） （，+∞） R a+bx+c＜0 （，） (a＞0)的解集 『思考问题』 对于一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0),当a＜0时，应该怎样处理才能运用上表的关系进行解答？ 五、一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔a，b〕上的最值： 1、影响一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔a，b〕上最值的因素： 影响一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔a，b〕上最值的因素有两个：①二次项系数a的取值；②对称轴x=-的取值。 2、一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔m，n〕上最值的确定： 确定二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔m，n〕上最值的基本方法是：①根据二次项系数a的取值判断二次函数y =a+bx+c(a≠0)图象的开口方向；②根据对称轴x=-的取值判断二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔m，n〕上的单调性；③求出二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔a，b〕上的最值。 六、一元二次函数的综合问题： 一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)的综合问题主要包括：①一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)与一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0) (a≠0)知识的综合；②一元二次函数y =a+bx+c(a≠0)在闭区间〔a，b〕上最值问题中含有 ... ...
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