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课件网) 抛物线的几何性质 一、复习回顾： . F M . －－抛物线标准方程 1、抛物线的定义： 平面内与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。 标准方程 图 形 焦 点 准 线 x y o F . . x y F o . y x o F . x o y F 2、抛物线的标准方程： 结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几何性质: (1)范围 (2)对称性 (3)顶点 类比探索 x≥0,y∈R 关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴 抛物线和它的轴的交点. 二、讲授新课： . y x o F (4)离心率 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由抛物线的定义可知，e=1 只有一个顶点 方程 图 形 范围 对称性 顶点 离心率 y2 = 2px （p＞0） y2 = -2px （p＞0） x2 = 2py （p＞0） x2 = -2py （p＞0） l F y x O l F y x O l F y x O x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 y≤0 x∈R l F y x O 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 （0,0） e=1 补充（1）通径： 通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。 |PF|=x0+p/2 x O y F P 通径的长度：2P P越大,开口越开阔 图.gsp （2）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。 焦半径公式： （标准方程中2p的几何意义） 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。 基本点：顶点，焦点 基本线：准线，对称轴 基本量：P（决定抛物线开口大小） X Y 抛物线的基本元素 y2=2px 填空练习：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？ （1）抛物线只位于 个坐标平面内，它可以无限延伸，但没有渐近线； （2）抛物线只有 条对称轴， 对称中心； （3）抛物线只有 个顶点、 个焦点、 条准线； （4）抛物线的离心率是确定的，其值为 ． 半 1 无 1 1 1 1 （5）一次项系数的绝对值越大，开口越大 变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程. 典型例题： 例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2, ),求它的标准方程. 当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论 x y O F A B B’ A’ 例2.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. y2 = 4x 解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1 x y O F A B B’ A’ 例2.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. y2 = 4x 解法二:由题意可知, A B F A1 B1 H 同理 分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷． 变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切． 证明：如图． 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切． 设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C， 则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜ ∴｜AB｜ ＝｜AF｜＋｜BF｜ ＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜ A A1 M1 M y x O F d1 d d2 探究4： H 练习: 1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是_____. 2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为_____ 3、已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P1（x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)在抛物线上，且|P1F|、|P2F|、|P3F|成等差数列， 则有（ ） A． B． C． D. y2 = 8x 分析:直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物 ... ...
