第九章 平面向量 9.4.1 平面几何中的向量方法 向量既是代数的对象，又是几何的对象．作为代数对象，向量可以运算．作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、角度等几何对象；向量有大小，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题．向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量“数”的特征，方向反映了向量“形”的特征，是数学中数形结合思想的典型体现．教学中应加强几何直观，突出几何直观对理解抽象数学概念的作用．要强调向量概念的几何背景，理解向量运算(加、减、数乘、数量积)及其性质的几何意义．在教学中要突出数形结合思想，注意从形和数两个方面来理解、研究向量及其运算． 课程目标 学科素养 1. 会用向量方法计算或证明几何中的相关问题. 2. 体会向量在解决数学和实际问题中的作用. a逻辑推理: 通过用向量方法证明平面几何问题，提升逻辑推理素养. b数学建模:通过用向量方法解决平面几何问题，培养数学建模素养. 1.教学重点：会用向量方法计算或证明几何中的相关问题. 2.教学难点：体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 多媒体调试、讲义分发。 向量理论的发展有着深刻的几何背景.这一源泉最早可追溯到莱布尼兹的位置几何的概念.莱布尼兹认为代数仅仅能表达未定的数或量值，不能直接表达位置、角度和运动，利用代数运算来分析一个图形的特点、寻找方便的几何证明和构造有时是很困难的.鉴于此，他提出了一个“新代数”，其中几何实体可以用符号来表示，并且这些符号可以直接进行运算，它不需要大量的乘法，不需要添加令人困惑的太多点和线.这就是向量. 问题1 证明线线平行、点共线问题，可用向量的哪些知识？ a∥b a＝λb(b≠0) x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). 问题2 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 题型一 利用平面向量证明平面几何问题 【例1】 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 证明 法一 设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0. 又＝＋＝－a＋，＝＋＝b＋， 所以·＝· ＝－a2－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)， 则＝(2，1)，＝(1，－2). 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0. 所以⊥，即AF⊥DE. 规律方法 利用向量解决垂直问题的方法和途径 方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0. 途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式. 【变式训练】 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC. 证明 ∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD， CD＝DA＝AB， 故可设＝e1，＝e2，|e1|＝|e2|，则＝2e2， ∴＝＋＝e1＋e2， ＝－＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2， 而·＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e ＝|e1|2－|e2|2＝0， ∴⊥，即AC⊥BC. 题型二 利用平面向量求几何中的长度问题 【例2】 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长. 转化为求解向量的模 解 设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， 而||＝|a－b|＝＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝， 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， ∴||＝，即AC＝. 规律方法 用向量法求长度的策略 (1)利用图形特点选择基底，用公式|a|＝求解. (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标a＝(x，y)，则|a|＝. 题型三 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
