因动点产生的线段和差问题 例1 2013年天津市中考第25题 在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA． （1）如图1，求点E的坐标； （2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′． ①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标； ②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）． 图1 图2 动感体验 请打开几何画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值． 请打开超级画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值． 思路点拨 1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m． 2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子． 3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题———轴对称，两点之间线段最短． 满分解答 （1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA． 所以．因此． 解得OE＝1．所以E(0,1)． （2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2． 在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2． 所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27． 所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27． 此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)． ②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为． 图3 图4 考点伸展 第（2）②题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E′关于直线l的对称点E′′， 所以A′B＋BE′＝A′B＋BE′′． 当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′． 在Rt△A′O′E′′中，A′O′＝2，O′E′′＝7，所以A′E′′＝． 当A′、B、E′′三点共线时，．所以． 解得．此时． 例2 2012年滨州市中考第24题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、 B(2, 0)三点． （1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式； （2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12滨州24”，拖动点M在抛物线的对称轴上运动（如图2），可以体验到，当M落在线段AB上时，根据两点之间线段最短，可以知道此时AM＋OM最小（如图3）． 请打开超级画板文件名“12滨州24”，拖动点M， M落在线段AB上时， AM＋OM最小． 答案 （1）。 （2）AM＋OM的最小值为． ( http: / / www." \o "中国教育出版网\" ) 图2 图3 例3 2012年山西省中考第26题 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． （1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标； （2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12山西26”，拖动点P在x轴上运动，可以体验到，点Q有3个时刻可以落在抛物线上．拖动点M在直线AC上运动，可以体验到，当M落在B′D上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小． 思路点拨 1．第（2）题探究平行四边形，按照AP为边或者对角线分两种情况讨论． 2．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点B关于“河流 ... ...
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