2023届高考数学二轮复习常考题型（新高考）解答题：平面解析几何（Word版含解析）

高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考） 解答题：平面解析几何 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程及的面积. 2.如图，已知点为抛物线的焦点.过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧.记的面积分别为. (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)求的最小值及此时点的坐标. 3.已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. (1)求的方程； (2)设直线不经过点且与相交于两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点. 4.已知为双曲线的左、右焦点，过点作垂直于轴的直线，并在轴上方交双曲线于点，且. (1)求双曲线的方程； (2)过圆上任意一点作圆的切线，交双曲线于两个不同的点，的中点为，证明：. 5.顺次连接椭圆的四个顶点，恰好构成了一个边长为且面积为的菱形. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，设直线与椭圆相切于点，过点作，垂足为，求面积的最大值. 6.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5. (1)求与的值； (2)设动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在与的取值无关的定点，使得 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 7.已知是抛物线的焦点，恰好又是双曲线的右焦点，双曲线过点，且其离心率为. (1)求抛物线和双曲线的方程； (2)已知直线过点，且与抛物线交于两点，以为直径作圆，设圆与轴交于点，求的最大值. 8.已知椭圆过点，且椭圆的一个顶点的坐标为.过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点(不同于点)，直线与直线交于点，连接，过点作的垂线，与直线交于点. (1)求椭圆的方程，并求点的坐标； (2)求证：三点共线. 答案以及解析 1.答案：(1)因为长轴长是短轴长的倍，所以. 因为右焦点的坐标为，所以. 结合，得. 所以椭圆的标准方程为. (2)设. 由得. 则. 因为线段中点的横坐标为， 所以. 解得，即，代入一元二次方程得，符合题意， 所以直线的方程为. 因为. 点到直线的距离. 所以的面积. 2.答案：(1)由题意得，即. 所以，抛物线的准线方程为. (2)设，重心.令，则.由于直线过点，故直线的方程为，代入，得 ， 故，即，所以. 又由于及重心在轴上，故， 得. 所以，直线的方程为，得. 由于在焦点的右侧，故.从而 . 令，则， . 当时，取得最小值，此时. 3.答案：(1)由于两点关于轴对称，故由题设知经过两点. 又由知，不经过点，所以点在上. 因此解得 故的方程为. (2)设直线与直线的斜率分别为. 如果与轴垂直，设，由题设知，且，可得的坐标分别为. 则，得，不符合题设. 从而可设. 将代入得， . 由题设可知. 设，则. 而 . 由题设，故. 即. 解得. 当且仅当时，，于是， 即， 所以过定点. 4.答案：(1)根据已知条件，得， 所以. 因为轴，所以. 在中，，得. 所以双曲线的方程为. (2)①当直线的斜率不存在时，则， 于是，此时. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 联立得消去并整理，得. 则且. 因为为的中点， 所以，即点的坐标为. 则. . 又点到直线的距离，所以，即. 所以， ， 由此得. 综上，. 5.答案：(1)由题意可得解得， 故椭圆的标准方程为. (2)显然直线的斜率存在且不为0，设直线， 联立得得， 则，得， 所以. 由，得直线的方程为， 联立得得， 所以， 又， 所以， 当且仅当时等号成立，所以面积的最大值为. 6.答案：(1)根据抛物线定义，知，解得， 所以抛物线方程为. 由点在抛物线上，得，所以. (2)抛物线方程为， 当时，直线与抛物线只有一个交点，显然不合题意. 当时，假设存在点满足题意，， 由，得，即. 整理得. 联立方程得整理得， 所以， 得，所以，解得， 因此存在点满足题意. 7.答案：(1)由双曲线过点，且其离心率为， 得，又， 得， 故双曲线的方程为. 由是抛物线 ... ...