第十二章 复数 12.2 复数的运算 本章共分三小节,第一小节讲复数的概念,首先简要地说明了人们在解实数系方程的过程中,产生了扩充实数集的需要,从而自然地引入虚数单位i, 在此基础上,给出了复数的有关概念和复数的代数形式然后,通过了复数与复平面的点的一一对应，给出了复数的儿何意义，第二小节讲复数的运算,分别给出了复数的代数形式的加法、减法运算法则和复数的代数形式的乘法、除法的运算法则。第三小节讲数系的扩充,介绍了数集从自然数集开始,扩充到复数的过程,并说明了数系的每一次扩充,都解决了某些运算不能进行的矛盾。最后,说明了复数集内负数可以开平方的问题。 课程目标 学科素养 1.掌握复数的加减乘除运算. 2.掌握共轭复数的概念及应用. 3.理解向量加法、减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题． 4.了解i的幂的周期性． a数学抽象: 通过理解复数加、减法的几何意义，提升数学抽象素养. b数学运算: 通过复数的加减乘除运算培养数学运算素养. 1.教学重点：掌握复数的加减乘除运算. 2.教学难点：了解i的幂的周期性． 多媒体调试、讲义分发。 知识点一 复数的加减运算 1．复数加减的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 提示：复数的加、减运算法则是一种新的规定，可以类比多项式合并同类项来理解和记忆． 2．加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有(1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 知识点二 复数的乘法运算 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．乘法运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 一、复数的运算. 例1 计算： (1)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)． (2)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 解 (1)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i) ＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i. (2)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i. (3)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 反思感悟 (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样． (2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i2＝－1，(1±i)2＝±2i. 反思感悟 (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样． (2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i2＝－1，(1±i)2＝±2i. 二、共轭复数的概念 例2 复数z满足z·＋2iz＝4＋2i，求复数z的共轭复数． 解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi. ∵z·＋2iz＝4＋2i，∴x2＋y2＋2i(x＋yi)＝4＋2i， ∴(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i. ∴解得或 ∴z＝1＋3i或z＝1－i. ∴z的共轭复数为＝1－3i或＝1＋i. 反思感悟 (1)有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：①设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝a2＋b2.②z∈R z＝. (2)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础． 跟踪训练 已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z. 解 设z＝a＋bi(a，b∈R)， 则＝a－bi(a，b∈R)． 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i， 则有解得或 所以z＝－1或z＝－1＋3i. 三、i的运算特征 ... ...
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