第1讲 三角函数的图象与性质 【高考考情解读】 1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以小而活的选择题、填空题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档． 1． 三角函数定义、同角关系与诱导公式 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. (3)诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． 2． 三角函数的图象及常用性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增 对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z) 对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心：(，0)(k∈Z) 3． 三角函数的两种常见变换 考点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题 例1 (1)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐 标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针 从P0(此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函 数关系为 ( ) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin (2)已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为 ( ) A. B. C. D. 弄清三角函数的概念是解答本题的关键． 答案 (1)C (2)D 解析 (1)由三角函数的定义可知，初始位置点P0的弧度为，由于秒针每秒转过的弧度为－，针尖位置P到坐标原点的距离为1，故点P的纵坐标y与时间t的函数关系可能为y＝sin. (2)tan θ＝＝＝－1， 又sin >0，cos <0， 所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝. (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． (1)已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝，则cos的值为 ( ) A. B．－ C. D．－ 答案 B 解析 由tan(3π＋α)＝， 得tan α＝，cos＝cos＝sin α. ∵α∈(－π，0)，∴sin α＝－. (2)如图，以Ox为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P， 已知点P的坐标为. 求的值． 解 由三角函数定义， 得cos α＝－，sin α＝， ∴原式＝＝ ＝2cos2α＝2×2＝. 考点二 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式 例2 函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(其中|φ|<)的图象如图所示，为了得到 g(x)＝sin ωx的图象，则只要将f(x)的图象 ( ) A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 答案 A 解析 由图象可知，＝－＝， ∴T＝π，∴ω＝＝2，再由2×＋φ＝π， 得φ＝，所以f(x)＝sin. 故只需将f(x)＝sin 2向右平移个单位， 就可得到g(x)＝sin 2x. (1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． (2)在图象变换过程中务必分清是先相位 ... ...
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