第3讲 平面向量 【高考考情解读】 从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点：1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题以选择、填空形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等． 1． 平面向量中的五个基本概念 (1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． (4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量． (5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影． 2． 平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底． 3． 平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0. 4． 平面向量的三个性质 (1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ||＝. (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角， 则cos θ＝＝. 考点一 平面向量的概念及线性运算 例1 (1)(2013·江苏)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为_____． (2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0且||＝||，则向量在上的投影为 ( ) A. B．3 C．－ D．－3 答案 (1) (2)A 解析 (1)如图，＝＋＝＋＝＋(－) ＝－＋，则λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝. (2)由＋＋＝0， 得＋＝. 又O为△ABC外接圆的圆心，OB＝OC， ∴四边形ABOC为菱形，AO⊥BC. 由||＝||＝2， 知△AOC为等边三角形． 故在上的投影为||cos∠ACB＝2cos ＝. (1)在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于代数中合并同类项的运算；有的问题采用坐标化解决更简单． (2)运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”．运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合． (1)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°， 与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为_____． 答案 (1)B (2)6 解析 (1)∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心． ∴＋＝3，∴m＝3. (2)方法一 如图，＝1＋1，|1|＝2，|1|＝||＝4， ∴＝4＋2. ∴λ＋μ＝6. 方法二 由＝λ＋μ，两边同乘，得2＝λ·＋0，∴λ＝4. ∴＝4＋μ，两边同乘， 得·＝4＋μ·， 即3＝4＋(－)μ.∴μ＝2. ∴λ＋μ＝6. 方法三 以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系， 则A(1,0)，C(2cos 30°，2sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°)． 即A(1,0)，C(3，)，B(－，)． 由＝λ＋μ得， ∴.∴λ＋μ＝6. 考点二 平面向量的数量积 例2 (1)(2012·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为 BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是_____． (2)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b －c|的最大值为 ( ) A.－1 B．1 C. D．2 答案 (1) (2)B 解析 (1)方法一 坐标法． 以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2) ... ...
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