第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 【高考考情解读】 高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大． 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线 定义 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|) |PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M 标准方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0) 图形 几何性质 范围 |x|≤a， |y|≤b |x|≥a x≥0 顶点 (±a,0)，(0，±b) (±a,0) (0,0) 对称性 关于x轴，y轴和原点对称 关于x轴对称 焦点 (±c,0) (，0) 轴 长轴长2a，短轴长2b 实轴长2a，虚轴长2b 离心率 e＝＝ (01) e＝1 准线 x＝－ 渐近线 y＝±x 考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1 (1)设椭圆＋＝1和双曲线－x2＝1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值等于_____． (2)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝_____. 答案 (1)3 (2) 解析 (1)焦点坐标为(0，±2)，由此得m－2＝4，故m＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2，||PF1|－|PF2||＝2，两式平方相减得4|PF1||PF2|＝4×3，所以|PF1|·|PF2|＝3. (2)方法一 抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)(k＞0)恒过定点 P(－2,0)． 如图，过A、B分别作AM⊥l于点M， BN⊥l于点N. 由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点． 连接OB，则|OB|＝|AF|， ∴|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1， 故点B的坐标为(1,2)． ∴k＝＝. 方法二 如图，由图可知，BB′＝BF，AA′＝AF， 又|AF|＝2|BF|， ∴＝＝， 即B是AC的中点． ∴与 联立可得A(4,4)，B(1,2)． ∴kAB＝＝. (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，提倡画出合理草图． (1)(2012·山东)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为 ( ) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 (2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B， 交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为 ( ) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 答案 (1)D (2)C 解析 (1)∵椭圆的离心率为，∴＝＝， ∴a＝2b.∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2. ∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0， ∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为， ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为b×b＝4，∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20. ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定 义知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|， ∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°. 连接A1F，则△AA1F为等边三角形， 过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点， 设l交x轴于N，则|NF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C. 考点二 圆锥曲线的几何性质 例2 (1)(2013·辽宁)已知椭圆C：＋ ... ...
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