第05讲 平方根和立方根（原卷+解析）2022-2023学年人教版七年级寒假自学预习讲义

中小学教育资源及组卷应用平台 SHAPE \* MERGEFORMAT 1．算术平方根 （1）定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的_____． （2）表示方法 a的算术平方根记为_____，读作“根号a”，a叫被开方数． （3）算术平方根的性质 ①正数a的算术平方根为； ②0的算术平方根是0，即=_____； ③负数_____算术平方根． ④算术平方根具有双重非负性：被开方数a是非负数，即a≥0；算术平方根本身是非负数，即≥0． 2．平方根 （1）平方根的概念 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的_____或二次方根． 【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0． （2）平方根的性质 ①一个正数a有_____个平方根，其中一个是“”，另一个为“-”，它们互为相反数； ②0的平方根是0； ③负数没有平方根． （3）开平方的概念 求一个数a的平方根的运算，叫做_____． （4）利用平方根的定义解方程 将各式转化为等号的左边是含x的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m≥0），然后利用平方根的定义得到x=±或ax+b=±，进而得到原方程的解． 3．平方根与算术平方根的区别 （1）定义不同； （2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个； （3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示； （4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负． 4．立方根的概念和性质 （1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的_____或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．例如：53=125，那么5是125的立方根． （2）表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作：“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数． （3）拓展：互为相反数的两数的立方根也互为相反数． 5．开立方 （1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做_____． （2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是_____，0的立方根是0； ②； ③=a． （3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为_____．开立方所得的结果就是立方根． 6．平方根和立方根的区别和联系 1．被开方数的取值范围不同 在中，被开方数a是非负数，即a≥0；在中，被开方数a是任意数． 2．运算后的数量不同 一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根 【知识汇总参考答案】 1．（1）算术平方根（2）（3）0，没有2．（1）平方根（2）两（3）开平方 4．（1）立方根 5．（1）开立方（2）负数（3）逆运算 题型一：平方根的概念 方法技巧 理解并掌握平方根的概念； 理解掌握算术平方根的概念． 【例1】（2022秋 新华区校级期中）已知a﹣7和2a+1是一个正数x的平方根，则这个正数x＝（　　） A．2 B．2或﹣8 C．25 D．25或225 【思路引导】根据平方根的定义求出a的值，进而可得出结论． 【完整解答】解：∴a﹣7和2a+1是一个正数x的平方根， 当a﹣7＝2a+1时，解得a＝﹣8， ∴﹣8﹣7＝﹣15， ∴（﹣15）2＝225； 当a﹣7和2a+1互为相反数时， ﹣（a﹣7）＝2a+1，解得a＝2， ∴7﹣a＝5， ∴x＝52＝25． 故x的值为25或225． 故选：D． 【考察注意点】本题考查的是平方根的定义，熟知一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． 【变式1-1】（2022春 五华区校级期中）下列判断： ①0.25的平方根是0.5； ②只有正数才有平方根； ③（）2的平方根是±； ④﹣7是﹣49的一个平方根． 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路引导】根据平方根的定义解答即可． 【完整解答】解：①0.25的平方 ... ...