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课件网) 苏教版2019选择性必修第一册 单元复习06 空间向量与立体几何 1．空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 — 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量 — 知识点归纳 2．空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb． (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． ②两向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c． 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 5．空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量． (3)空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2 l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m n·m＝0 l⊥α n∥m n＝λm 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm α⊥β n⊥m n·m＝0 专题一 空间向量的概念及运算 1.空间向量可以看作是平面向量的推广,有许多概念和运算与平面向量是相同的,如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念,加法的三角形法则和平行四边形法则,减法的几何意义,数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等等;向量的基底表示和坐标表示是向量运算的基础. 2.向量的运算过程较为繁杂,要注意培养数学运算能力. 题型探究 【例1】 (多选题)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD 是边长为1的正方形,S到A,B,C,D的距离都等于2.下列选项中正确的是( ) 答案 CD 规律方法 空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的. (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面,特别地,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序 变式训练1 在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足 ,则P点坐标为( ) A.(3,0,0) B.(0,3,0) C.(0,0,3) D.(0,0,-3) 答案 C 专题二 利用空间向量证明位置关系 1.用空间向量判断空间中位置关系的类型有线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直;判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量、向量的共线和垂直进行证明. 2.将立体几何的线面关系转化为向量间的关系,可以培养逻辑思维能力和数学运算能力. 【例2】 在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD, PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点. (1)求证:BM∥平面PAD; (2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD 若存在,确定点N的位置;若不存在,说明理由. (1)证明 以A为原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则 ... ...
