课件编号144949

高三数学辅导讲座-函数(二)_[下学期]

日期:2024-06-16 科目:数学 类型:高中课件 查看:99次 大小:263361Byte 来源:二一课件通
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课件73张PPT。三.函数的周期性 函数的周期性 如果函数y=f(x)对于定义域内任意的x,存在一个不等于0的常数T,使得f(x+T)=f(x) 恒成立,则称函数f(x)是周期函数,T是它的一个周期. 一般情况下,如果T是函数f(x)的周期,则kT(k∈N+)也是f(x)的周期. 例1 已知函数f ( x ),对任意实数x,有下面四个关系式成立: (1)f ( x ) =-f (x+a)(a为非零常数); (2)f ( x ) = f (a-x)(a为非零常数); (3)f (a-x) = f (b-x)(a,b为常数且a2 + b2≠0) 【例题讲解】 (4)f (a-x) =-f (b-x)(a,b为常数且a2+b2≠0) 其中使f ( x )是周期函数的关系式是_____. 【解】考查(1),f ( x )=-f (x+a)说明“两个自变数相差a,则函数值互为相反数”,于是相差2a时,函数值相等: f ( x )=-f (x+a) = f (x+2a) ∴ 等式(1)使f ( x )是周期函数, 且2a是周期; 考查(2),f ( x )=f (a-x)表明函数f ( x )的图像关于直线 对称,这不一定能使其为周期函数; 考查(3),f (a-x)= f (b-x)表明自变数相差a-b时, 函数值相等, 即 f ( x ) = f (a-b+x) ∴ 等式(3)使f (x)是周期函数,且a-b是周期. 考查(4),f (a-x) =-f (b-x)表明自变数相差a-b时,函数值互为相反数,于是相差2(a-b)时,函数值相等.故(4)同(1),能使 f ( x )为周期函数,且 2(a-b)是周期. 综上所述,应填(1),(3),(4). 例2 f ( x )是R上的以2为周期的周期函数,又是奇函数,且x∈(0,1)时, 则f ( x ) 在(1,2)上 (A)是增函数,且f ( x )>0 (B)是减函数,且f ( x )>0 (C)是增函数,且f ( x )<0 (D)是减函数,且f ( x )<0 【讲解】认识f ( x )在(1,2)上的性质,可以把f ( x )在(1,2)上的解析式求出来,或者由f ( x )的性质去推断: 例3.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x+m)=-f(x),求证:2m是f(x)的一个周期. 证明:因为f(x+m)=-f(x) 所以,f(x+2m)=f[(x+m)+m] =-f(x+m) =f(x) 所以f(x)是以2m为周期的周期函数.例4.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x+m)=f(x-m),求证:2m是f(x)的一个周期. 证明:因为f(x+m)=f(x-m) 令x-m=t,则x+m=t+2m 于是f(t+2m)=f(t)对于t∈R恒成立, 所以f(x)是以2m为周期的周期函数.例5.已知函数f(x)对任意实数x,都有 f(x+m)=,求证:2m是f(x)的一个周期. 证明:由已知f(x+2m)=f[(x+m)+m] =f(x) 所以f(x)是以2m为周期的周期函数.例6.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x+m) =- ,求证:4m是f(x)的一个周期. 证明:由已知f(x+2m)=f[(x+m)+m] 于是f(x+4m) =- = f(x) 所以f(x)是以4m为周期的周期函数.例7.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)且f(b+x)=f(b-x), 求证:2|a-b|是f(x)的一个周期.(a≠b) 证明:不妨设a>b 于是f(x+2(a-b))=f(a+(x+a-2b)) =f(a-(x+a-2b))=f(2b-x) =f(b-(x-b))=f(b+(x-b)) =f(x) ∴ 2(a-b)是f(x)的一个周期 当a<b时同理可得 所以,2|a-b|是f(x)的周期例8.已知函数f(x)的定义域为N,且对任意正整数x,都有f(x)=f(x-1)+f(x+1) 若f(0)=2004,求f(2004) 解:因为f(x)=f(x-1)+f(x+1) 所以f(x+1)=f(x)+f(x+2) 两式相加得0=f(x-1)+f(x+2) 即:f(x+3)=-f(x) ∴ f(x+6)=f(x) f(x)是以6为周期的周期函数 2004=6×334 ∴ f(2004)=f(0)=2004 例9 f (x)是R上的奇函数,且对任何实数x,总有f (x+2)=-f (x),且x?[0,1]时,f (x)=x,则f (x)在R上的解析式为 . 【解】∵ f (x+2)=-f (x), ∴ f (x+4)=-f (x+2)=f (x), ∴ f (x)是周期函数,4是周期. ∵ f (-x)=-f (x). ∴ f (x+2)=f (-x), ∴ f (x)的图像关于x=1对称, 由上述这些性质,及x?[0,1]时,y=x, 得知f (x)的图像如下:其 ... ...

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