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课件网) 4.2二项式系数的性质 第二课时 §4 二项式定理 1.理解二项式系数性质的应用. 2.掌握应用二项式性质解决最大最小值问题和整除余除问题 核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理 学习目标 1.二项式定理 必备知识·自主学习 二项式定理 (a＋b)n＝_____ ＝ an－kbk(n∈N＋) 二项展开式 公式右边的式子 二项式系数 (k∈{0，1，2，…，n}) 二项展开 式的通项 公式 Tk＋1＝_____ 2．二项展开式的特点 (1)展开式共有n＋1项． (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. 3.二项式系数的性质 (1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与_____的两个二项式 系数相等，即 . (2)增减性与最大值：当k< 时，二项式系数是逐渐_____的，由对称性 可知它的后半部分是逐渐_____的，且在中间取到最大值．当n是偶数时，中 间一项的二项式系数 取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数 _____相等，且同时取到最大值． 首末两端“等距离” 增大 减小 各二项式系数的和 (1) ＝__． (2) …＝ ＋…＝____． 2n 2n－1 思考：如何求二项式系数中的最大项？ 提示：先判断n是奇数还是偶数，若是奇数则中间两项二项式系数是最大项， 若是偶数则中间项二项式系数是最大项． 类型一 二项式系数或系数最大项问题 例3 已知（+3）展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项. 解 令＝1得展开式各项系数和为（1+3）＝. 又展开式二项式系数和为++＝，由题意有＝992，即（）2-992＝0，得＝32（负值舍去），所以＝5. （1）因为＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项. 它们是＝（）3（3）2＝90，＝（）2（3）3＝. （2）设展开式中第（+1）项的系数最大.又+1＝（）5-（3）＝3， 得则解得≤≤. 因为为整数，所以＝4，所以展开式中系数最大的项为＝34＝. 反思感悟 求二项式系数或系数最大项问题的策略 （1）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当为偶数时，中间一项的二项式系数最大. （2）求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组的方法求得. 变式训练 课堂检测·素养达标 类型二 利用二项式定理解决整除或余数问题 例1 求证：能被31整除（∈N*）. 证明 1+2+22++＝＝-1＝＝ ＝×+++×31+-1 ＝31（×31-1+×31-2++）， 显然上式括号内的数为整数，所以原式能被31整除. 反思感悟 求解整除或余数问题的方法 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数. 跟踪训练 1.求＝++…+除以9的余数. 解 ＝++…+＝227-1＝89-1＝（9-1）9-1 ＝×99-×98+…+×9--1＝9（×98-×97+…+）-2 ＝9（×98-×97+…+-1）+7， 显然上式括号内的数是正整数，故除以9的余数是7. D ... ...
