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课件网) 2.3 垂径定理 湘教版 九年级下 教学内容分析 学完前面3节，重点学习了圆的概念，圆周角圆心角的概念，圆周角定理及其推论，本节课重点学习一下，垂直于弦的直径的性质。 教学目标 1.证明和理解垂径定理（重点） 2.运用垂径定理，解决圆与三角形、四边形综合知识解答问题（难点） 核心素养分析 本节内容主要研究垂径定理，定理的条件是垂直于弦的直径，结论有直径平分这条弦，直径平分这条弦所对的两条弧。在证明的过程中，培养了学生几何直观的观念，也提高了学生的计算能力。 新知导入 直径所对的圆周角是_____； 90°的圆周角所对的弦是_____. 圆内接四边形的对角_____. 直角 直径 互补 新知讲解 在图2-27的⊙O中，AB是任一条弦，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为E. 试问：AE与BE， 与 ， 与 分别相等吗？ 动脑筋 ⌒ BC ⌒ AC ⌒ AD ⌒ BD 图2-27 新知讲解 因为圆是轴对称图形，将⊙O沿直径CD对折，如图2-28，我们发现AE与BE重合， ， 分别与 ， 重合，即AE=BE， = ， = . ⌒ AC ⌒ AD ⌒ BC ⌒ BD ⌒ AC ⌒ BC ⌒ AD ⌒ BD 图2-28 D C O E B(A) 解：连接OA，OB. ∵ OA=OB， ∴ △OAB是等腰三角形. ∵OE⊥AB， ∴AE=BE，∠AOD=∠BOD. 从而∠AOC=∠BOC. ∴ = , = . 新知讲解 ⌒ AC ⌒ BC ⌒ AD ⌒ BD -- -- 以两条半径及所夹的弦构成的等腰三角形 新知讲解 由此得到垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. -- -- ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 新知讲解 变式1 如图，AB是⊙Ｏ的弦，点C、D在弦AB上，且OC= OD. 求证:AC= BD. 新知讲解 证明:过点O作OH⊥AB，垂足为H, ∴ AH=BH, ∵OC=OD，且OH⊥CD, ∴CH=DH, ∴AH-CH=BH-DH, ∴AC=BD. 新知讲解 例1 如图2-29，弦AB=8cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的直径CD的长. 图2-29 新知讲解 解 连接OA. 设OA=rcm， 则OE＝r-2（cm）. ∵CD⊥AB， 由垂径定理得 AE=AB÷2＝4（cm）. 在Rt△AEO中， 由勾股定理得OA2＝ OE2+AE2. 即r2＝（r-2）2+42. 解得r＝5 . ∴CD=2r=10（cm） 图2-29 -- 过圆心作弦的垂线构成直角三角形 新知讲解 例2 证明： 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 根据命题画图； 写出已知求证； 写出证明过程. 新知讲解 已知：如图2-30， 在⊙Ｏ中，弦ＡＢ与弦ＣＤ平行． 求证： = ． ⌒ AC ⌒ BD 图2-30 新知讲解 证明 作直径ＥＦ⊥ＡＢ， ∴ = . 又 ∵ ＡＢ//ＣＤ，ＥＦ⊥ＡＢ， ∴EF⊥CD． ∴ ＝ ． 因此 ， 即 ． ⌒ CE ⌒ DE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE- CE= ＢＥ-ＤＥ ⌒ ⌒ AC=BD -- E F ⌒ AE ⌒ BE 新知讲解 变式2：如图，⊙Ｏ的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙Ｏ于点E，连结EC.若AB=8，OC =3，则EC的长为( ) A.6 B.8 C.7 D. 解:连接BE， ∵AE为⊙Ｏ直径， ∴∠ABE =90°， ∵OD⊥AB，OD过点O， ∴AC=BC= AB=2×8=4 新知讲解 连接直径所对的弧上的点与直径端点，构成直角三角形 新知讲解 ∵AO = OE， ∴BE =2OC， ∵OC = 3， ∴BE= 6， 在Rt △ CBE中， 故选:D. 根据以上题目，在圆中添加辅助线构成的三角形的常用方法： 新知讲解 -- -- 连接AO，OB，构成等腰三角形AOB -- 连接AO，构成直角三角形AOE 连接EB，构成直角三角形AEB 1.如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，则下列结论不一定正确的是 ( ) A. B. AF=BF C. OF=CF D. 课堂练习 C ⌒ ⌒ AD= BD ⌒ ⌒ AC= BC 课堂练习 解：∵DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD， ∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点， 且AF=BF， 故选项A，B，D一定正确; 无法证明OF=CF， 故选C． 课堂练习 2．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA =8，AB=12，∠A =∠B =60°，则BC的长为( ) A.16 B.20 C.18 D.22 课 ... ...
